( Dürüstlük ve matematiksel bütünlük - bu "cevap" üzerindeki oy sayısı göz önüne alındığında - bu cevabı düzenlememe yol açtı. Mümkün olduğunca uzun süre bekledim çünkü "derin" bir şey olarak değil, "derin" bir şey olarak düşünülmüştü. herhangi bir açıklama amaca ters gibi görünüyordu. Ancak, yorumlar yanlış anlama önlemek için net olması gerektiğini açıkça gösteriyor. )
Orijinal cevabım:
Spesifikasyonun bu bölümünün ifadeleri:
0 ise, 1 olarak ayarlamak istiyorum, aksi takdirde 0 olarak ayarlamak istiyorum.
en doğru çözümün:
v = dirac_delta(0,v)
Birincisi, itiraf: Ben yaptım benim delta fonksiyonları karıştı olsun. Kronecker deltası biraz daha uygun olurdu, ancak alandan bağımsız bir şey istediğim kadar değil (Kronecker deltası esas olarak sadece tamsayılar için kullanılır). Ama delta fonksiyonlarını hiç kullanmamalıydım, söylemeliydim:
v = characteristic_function({0},v)
Açıklığa kavuşturayım. Bir fonksiyonun üçlü olduğunu (X, Y, f) hatırlayın , burada X ve Y kümelerdir ( sırasıyla domain ve codomain olarak adlandırılır) ve f , X'in her elemanına Y elemanını atayan bir kuraldır . Genellikle üçlüyü (X, Y, f) f: X → Y olarak yazarız . X'in bir alt kümesi , örneğin A , verilen bir işlev χ olan bir karakteristik fonksiyon vardır (ℕ veya ℝ gibi daha büyük bir alan adına bir fonksiyon olarak da düşünülebilir). Bu işlev kural tarafından tanımlanır: bir X → {0,1}:
χ A (x) = 1 , x ∈ A ve χ A (x) = 0 , x ∉ A ise .
Eğer gerçeği tablolar gibi, bu soru için doğruluk tablosu ise "öğesi mi x ait X alt kümesi unsuru A ?".
Yani bu tanımdan, karakteristik fonksiyonun burada gerekli olduğu açıktır, X ile 0 ve A = {0} içeren bazı büyük setler vardır . Ben ne olmalıdır yazdım.
Ve böylece delta fonksiyonlarına. Bunun için entegrasyon hakkında bilgi sahibi olmalıyız. Ya zaten biliyorsun ya da bilmiyorsun. Eğer yapmazsanız, burada söyleyebileceğim hiçbir şey size teorinin inceliklerini anlatamaz, ama bir cümle özeti verebilirim. Bir X kümesi üzerinde esasen "ortalamaların çalışması için gerekli olan" ölçüsü vardır . Yani, biz bir dizi varsa yani X'i ve bir ölçü ^ ı o sette ardından fonksiyonları bir sınıf yoktur X → ℝ denilen, ölçülebilir fonksiyonlar ifadesi hangi ∫ x f dμ bazı belirsiz anlamda mantıklı ve olduğunu f'nin X üzerinden "ortalaması" .
Bir kümedeki ölçü verildiğinde, o kümenin alt kümeleri için bir "ölçü" tanımlanabilir. Bu, bir alt kümeye karakteristik fonksiyonunun integralini atayarak yapılır (bunun ölçülebilir bir fonksiyon olduğu varsayılarak). Bu olabilir sonsuz veya tanımlanmamış (iki ustaca farklıdır).
Etrafta birçok önlem var, ama burada önemli olan iki tane var. Birincisi, gerçek çizgideki standart ölçüdür ℝ. Bu önlem için, ∫ ℝ f dμ okulda öğrettiğiniz şeydir (matematik hala okullarda öğretiliyor mu?): Küçük dikdörtgenleri toplayın ve daha küçük ve daha küçük genişlikler alın. Bu ölçümde, bir aralığın ölçüsü genişliğidir. Bir noktanın ölçüsü 0'dır.
Herhangi bir sette çalışan bir diğer önemli ölçüye nokta ölçüsü denir . Bir fonksiyonun integrali , değerlerinin toplamı olacak şekilde tanımlanır:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Bu hesaplama, her bir tektona hesaplama 1'i atar. Bu, bir alt kümenin yalnızca ve eğer sonlu olması durumunda sonlu ölçüme sahip olduğu anlamına gelir . Ve çok az fonksiyonun sonlu integrali vardır. Bir fonksiyonun sonlu bir integrali varsa, sadece sayılabilen sayıda noktada sıfırdan farklı olmalıdır . Yani muhtemelen bildiğiniz fonksiyonların büyük çoğunluğu bu önlem altında sonlu integral içermez.
Ve şimdi delta fonksiyonlarına. Çok geniş bir tanım alalım. Ölçülebilir bir alanımız (X, μ) (bu, üzerinde bir ölçü olan bir küme) ve bir ∈ X elemanı var . Bu "tanımlar" delta fonksiyonu (bağlı bir "işlev" olmak üzere) δ bir X → ℝ: bu özelliği ile δ bir (x) = 0 ise X ≠ bir ve ∫ x δ bir dμ = 1 .
Bu konuda bilgi sahibi olmak için en önemli gerçek şudur: Delta işlevinin bir işlev olması gerekmez . O edilir değil düzgün tanımlanmış: Ne söylemedim ö bir (a) olduğunu.
Bu noktada ne yaptığınız, kim olduğunuza bağlıdır. Buradaki dünya iki kategoriye ayrılıyor. Bir matematikçiyseniz, aşağıdakileri söylersiniz:
Tamam, delta işlevi tanımlanmayabilir. Nerede biz bunun için uygun bir ev bulabilirse edelim onun varsayımsal özelliklerine bakmak ve görmek olduğunu belirledi. Bunu yapabiliriz ve dağıtımlarla sonuçlanırız . Bunlar değil (ille) işlevlerini, ama işler olduğunu bir fonksiyonlar gibi küçük ve onlar fonksiyonlar sanki sık sık onlarla çalışabilir davranırlar; ancak sahip olmadıkları bazı şeyler vardır ("değerler" gibi), bu yüzden dikkatli olmalıyız.
Bir matematikçi değilseniz, şunları söylersiniz:
Tamam, bu nedenle delta işlevi düzgün tanımlanmamış olabilir. Kim böyle söylüyor? Bir grup matematikçi mi? Boşver onları! Ne biliyorlar?
Şimdi izleyicilerimi rahatsız ettikten sonra devam edeceğim.
Dirac delta genellikle standart bir ölçüsü olan gerçek hattının üzerinde bir noktada (genellikle 0) delta fonksiyonu olarak alınır. Yani benim deltalarımı bilmeyen yorumlarımda şikayet edenler bunu yapıyor çünkü bu tanımı kullanıyorlar. Onlara özür dilerim: Mathematician'ın savunmasını kullanarak ( Humpty Dumpty tarafından popülerleştirildiği gibi : basitçe her şeyi yeniden tanımlayın) doğru bir şekilde tanımlamakla birlikte, farklı bir şey ifade etmek için standart bir terim kullanmak kötü bir formdur.
Ama olan bunu yapmak istiyorum ve onu Burada ihtiyacım olanı olanı yapmak yapan bir delta fonksiyonu. Bir alırsak nokta ölçü kümesi üzerinde X sonra orada olan hakiki fonksiyonu δ bir X → ℝ: hangi karşılar bir delta fonksiyonu kriterlerini. Biz bir işlev arıyor Bunun nedeni X → ℝ haricinde sıfır olan bir ve böyle onun tüm değerlerini toplamı 1. Böyle bir fonksiyonu basit olduğunu: bilginin yalnızca eksik parçası onun değeridir bir ve toplamı 1 olarak almak için sadece 1 değerini atarız. Bu, {a} üzerindeki karakteristik fonksiyondan başka bir şey değildir . Sonra:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Bu durumda, tek bir set için karakteristik fonksiyon ve delta fonksiyonu aynı fikirdedir.
Sonuç olarak, burada üç "işlev" ailesi vardır:
- Tekli setlerin karakteristik fonksiyonları,
- Delta fonksiyonları,
- Kronecker deltası çalışır.
Bunlardan ikincisi en genel olanıdır, çünkü diğerlerinden herhangi biri nokta ölçüsünü kullanırken buna bir örnektir. Ancak birinci ve üçüncü, her zaman gerçek işlevler olma avantajına sahiptir. Üçüncüsü, belirli bir alan ailesi (tamsayılar veya bazı alt kümeleri) için ilkinin özel bir durumudur.
Başlangıçta cevabı yazarken Yani, son olarak değil düzgün düşünme (ben olduğunu söylemek kadar ileri gitmezdim karıştı ben gösterdiğimiz umut olarak, do ne zaman bahsettiğimi biliyorum Aslında önce düşünüyorum, çok fazla düşünmedim). Dirac delta olağan anlamı burada istedi ama benim cevap noktalarından biri giriş alanı olmasıydı ne değildir değil Kronecker delta da doğru olmazdı böylece tanımlanmış. Bu yüzden (amaçladığım) en iyi matematiksel cevap karakteristik fonksiyon olurdu .
Umarım bunların hepsi açıktır; ve umarım TeX makroları yerine HTML objeleri kullanarak bir daha asla matematiksel bir parça yazmam gerekmiyor!