Dengeli Ağacın Tanımı

Birisi benim için dengeli bir ağacın tanımını açıklığa kavuşturabilir mi diye merak ediyorum. "Her bir alt ağacın dengeli olması ve iki alt ağacın yüksekliği en fazla bir tane farklı olması durumunda bir ağaç dengelenir.

Bu aptalca bir soruysa özür dilerim, ancak bu tanım bir ağacın yapraklarına kadar her düğüm için mi yoksa kökten hemen uzaktaki sol ve sağ alt ağaçlar için mi geçerli? Sanırım bunu çerçevelemenin başka bir yolu da, bir ağacın iç düğümlerinin dengesiz olması ve tüm ağacın dengeli kalması mümkün müdür?

Kısıtlama genellikle her alt ağaca yinelemeli olarak uygulanır. Yani, ağaç yalnızca şu durumlarda dengelenir:

1. Sol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla bir farklılık gösterir VE
2. Sol alt ağaç dengelidir, VE
3. Doğru alt ağaç dengelidir

Buna göre bir sonraki ağaç dengelidir:

     A
   /   \
  B     C  
 /     / \  
D     E   F  
     /  
    G  

Bir sonraki, dengeli değildir çünkü C'nin alt ağaçlarının boyları 2 farklıdır:

     A
   /   \
  B     C   <-- difference = 2
 /     /
D     E  
     /  
    G  

Bununla birlikte, ilk noktanın belirli kısıtlaması ağacın türüne bağlıdır. Yukarıda listelenen, AVL ağaçları için tipiktir .

Örneğin kırmızı-siyah ağaçlar daha yumuşak bir sınırlama getirir.

"Dengeli" yi tanımlamanın birkaç yolu vardır. Ana amaç, tüm düğümlerin derinliklerini korumaktır O(log(n)).

Bana öyle geliyor ki bahsettiğiniz denge durumu AVL ağacı için . AVL ağacının denge durumunun
resmi tanımı şöyledir :

AVL'deki herhangi bir düğüm için, sol alt ağacının yüksekliği, sağ alt ağacının yüksekliğinden en fazla 1 farklılık gösterir .

Sonraki soru, " boy " nedir?

İkili bir ağaçtaki bir düğümün " yüksekliği ", o düğümden bir yaprağa giden en uzun yolun uzunluğudur.

Garip ama yaygın bir durum var:

İnsanlar boş bir ağacın yüksekliğini tanımlarlar (-1).

Örneğin, kökün sol çocuğu null:

              A  (Height = 2)
           /     \
(height =-1)       B (Height = 1) <-- Unbalanced because 1-(-1)=2 >1
                    \
                     C (Height = 0)

Belirlenecek iki örnek daha:

Evet, Dengeli Bir Ağaç Örneği:

        A (h=3)
     /     \
 B(h=1)     C (h=2)        
/          /   \
D (h=0)  E(h=0)  F (h=1)
               /
              G (h=0)

Hayır, Dengeli Ağaç Değil Örneği:

        A (h=3)
     /     \
 B(h=0)     C (h=2)        <-- Unbalanced: 2-0 =2 > 1
           /   \
        E(h=1)  F (h=0)
        /     \
      H (h=0)   G (h=0)      

Bu iki şey arasında hiçbir fark yok. Bunu düşün.

Daha basit bir tanım alalım, "Pozitif bir sayı sıfır olsa bile veya bu sayı eksi iki çifttir." Bu, 6 bile olsa 8 eşit mi diyor? Yoksa bu, 6, 4, 2 ve 0 çift olsa 8 bile mi diyor?

Fark yok. 8 eşittir 6 eşittir diyorsa 6 eşittir 4 eşittir diyor. Ve böylece 4 eşittir 2 eşittir diyor. Ve böylece, 0 çift olsa bile 2'dir diyor. Öyleyse 8 eşittir 6 eşittir derse, (dolaylı olarak) 6, 4, 2 ve 0 bile olsa 8 eşittir der.

Burada da aynı şey var. Herhangi bir dolaylı alt ağaç, bir doğrudan alt ağaç zinciri tarafından bulunabilir. Dolayısıyla, yalnızca doğrudan alt ağaçlara uygulansa bile, yine de dolaylı olarak tüm alt ağaçlara (ve dolayısıyla tüm düğümlere) uygulanır.

Dengeli ağaç, yüksekliği log sırası (ağaçtaki eleman sayısı) olan bir ağaçtır.

height = O(log(n))
O, as in asymptotic notation i.e. height should have same or lower asymptotic
growth rate than log(n)
n: number of elements in the tree

"Her bir alt ağacın bir ağacı dengelenir ve iki alt ağacın yüksekliği en fazla bir tane değişir" tanımını AVL ağaçları takip eder.

AVL ağaçları dengeli olduğu, ancak tüm dengeli ağaçlar AVL ağaçları olmadığı için dengeli ağaçlar bu tanımı tutmaz ve iç düğümler dengesiz olabilir. Ancak, AVL ağaçları tüm dahili düğümlerin dengelenmesini gerektirir.

Dengeli ağacın amacı yaprağa minimum çaprazlamada (minimum yükseklik) ulaşmaktır. Ağacın derecesi, dal sayısı eksi 1'dir. Dengeli bir ağaç İkili olmayabilir.

1. Bir ağaçtaki bir düğümün yüksekliği, yolun hem başlangıç ​​hem de bitiş köşelerini sayarak, o düğümden aşağıya doğru en uzun yolun uzunluğudur.
2. Bir ağaçtaki bir düğümün, alt ağaçlarının yükseklikleri 1'den fazla farklılık göstermiyorsa, yükseklik dengelidir.
3. Bir ağacın tüm düğümlerinin yüksekliği dengeli ise, ağacın yüksekliği dengelenir.