Birden fazla kubit durumunu kompakt olarak nasıl temsil edebilirim?

15

Kuantum hesaplama yapabilen kuantum cihazlarına erişim hala son derece sınırlı olduğundan, klasik bir bilgisayarda kuantum hesaplamalarını simüle etmek ilgi çekicidir . kübitlerin durumunu bir vektör olarak temsil etmek , eleman alır ; bu, bu tür simülasyonlarda düşünülebilecek kübit sayısını büyük ölçüde kısıtlar. $n$ $2^n$

Basit vektör gösteriminden daha az bellek ve / veya hesaplama gücü kullandığı için daha kompakt olan bir gösterim ¹ kullanılabilir mi? O nasıl çalışır?

Uygulaması kolay olsa da, vektör temsillerinde, vektör temsillerinde azlık ve / veya artıklık sergileyen durumlar için vektör temsili israftır. Somut bir örnek için 3-kubit durumunu düşünün . Bu sahiptirunsurları ama onlar sadece varsayalımelementlerin en olmanın, olası değerleri. Tabii ki, bir kuantum hesaplamayı simüle etmede yararlı olmak için, kapıları ve kapıların kubitler üzerindeki hareketini nasıl temsil edeceğimizi de düşünmeliyiz ve bunlar hakkında bir şeyler dahil olmak memnuniyetle karşılanacaktır, ancak ben de kubitleri duymaktan memnuniyet duyarım. $(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$ $2^3$ $3$ $0$

_{1. Bu tür sunumları kullanabilecek / sunabilecek yazılım, kitaplık veya makaleler hakkında değil, temsilleri sorduğuma dikkat edin. Bir sunumu sunar ve açıklarsanız, zaten nerede kullanıldığını belirtmekten memnuniyet duyarız.}

quantum-state simulation

— Kiro
kaynak

8

Yararlılığı büyük ölçüde bağlama bağlı olan bir durumu kompakt olarak temsil etmenin birçok olası yolu vardır.

Her şeyden önce, herhangi bir durumu aynı durumun daha verimli bir temsili ile eşleştirebilecek bir prosedürün mümkün olmadığını fark etmek önemlidir (aynı nedenden dolayı herhangi bir 2-biti sadakatle sıkıştırmanın mümkün olmadığı açıktır. dizeyi 1 bitlik dize olarak ve dizeye bağlı olmayan bir eşleme ile)

Ancak, bazı varsayımlar yapmaya başlar başlamaz, belirli bir bağlamda bir durumu temsil etmenin daha etkili yollarını bulabilirsiniz. Bunu yapmanın birçok yolu var, bu yüzden akla gelen birkaç şeyden bahsedeceğim:

$4^n-1$ $n$ $2^{n+1}-2$
$\rho$ $\rho$ $\rho$ $d$ $d=2^n$ $n$ $d^2$ $\mathcal O(r d \log^2 d)$ $r$ ve bundan sonra gelen eserler).
$|S|$ $n$ $\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$
Devletin karışmasının sınırlı olduğunu biliyorsanız (tam olarak tanımlanabilecek bir anlamda), o zaman tekrar tensör ağları açısından etkili gösterimler bulunabilir (örneğin bir giriş örneğin 1708.00006'da ). Daha yakın zamanlarda, bazı önemli Hamilton'luların temel durumlarının, makine öğreniminden ilham alan ansatze (( 1606.02318 ve daha sonraki birçok çalışma) kullanılarak temsil edilebileceği de gösterildi. ( 1710.04045 ) kendi kategorisine girip girmeyeceğinden emin değilim.

Yukarıdakilerin hepsinde belirli bir durumu daha verimli bir şekilde temsil edebileceğinizi, ancak daha sonra sistemin evrimini simüle etmek için genellikle ihtiyacınız olan orijinal verimsiz gösterime geri dönün. Belirli bir evrim yoluyla bir devletin dinamiklerini etkin bir şekilde temsil etmek istiyorsanız , bunun mümkün olabilmesi için yine evrim üzerinde varsayımlara ihtiyacınız vardır. Bu konuda akla gelen tek sonuç, herhangi bir Clifford kuantum devresini verimli bir şekilde simüle etmeyi sağlayan Gottesman-Knill teoremi olan klasik ("kuantum olmayan" da olduğu gibi) .

— GLS
kaynak

9

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$ Burada spariteyi kullanmanın iyi bir yaklaşım olduğundan emin değilim: tek kubit kapıları bile seyrek bir durumu yoğun bir duruma dönüştürebilir.

Ancak sabitleyici formalizmi yalnızca Clifford kapılarını kullanıyorsanız kullanabilirsiniz . Burada kısa geniş özeti (bir gösterimde ):
tek qubit Pauli grubu olduğu Pauli matrislerinin yani mümkün olan tüm ürünler dahil ( ). Birkaç oluşan Pauli grubu, , nin tensör ürün alanıdır . Bir durumun stabilizatör stabilize bütün operatörlerin Pauli grubunun alt grubudur , anlamına $G_1=\langle X, Y, Z\rangle$ $\mathbb{I}$ $G_1$ $G_n=G_1^{\otimes n}$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $s \ket{\psi} = \ket{\psi}$ . Bunun sadece belirli (ancak önemli) durumlar için geçerli olduğunu belirtmek önemlidir. Aşağıda bir örnek vereceğim. Pauli grubunun unsurlarına kısıtlama gerekli değil, yaygındır. Sabitleyici , , ... operatörleri tarafından . Sabitleyici durumu benzersiz bir şekilde tanımlar ve etkili bir tanımdır: karmaşık sayılar yerine bit kullanabiliriz ( , 16 öğeye sahiptir). Bir kapısı uyguladığımızda , stabilizatör jeneratörleri $s_1$ $s_2$ $s_n$ $2^n-1$ $4n^2$ $G_1$ $U$ $s_i \to U^\dagger s_i U$ . Pauli operatörlerini Pauli operatörlerine eşleyen bir kapıya Clifford kapıları denir. Yani bunlar devlet tanımımızı “bozmayacak” kapılardır.

Grafik durumları, yukarıda açıklanan dengeleyici formalizm için önemli bir örnektir. köşeleri ve kenarları oluşan (yönlendirilmemiş) bir matematiksel grafik düşünün . Her tepe noktası bir kubite karşılık gelir. Grafiği gösterelim . durumundan bir grafik durumu üretilir , burada bağlı her köşe çifti için bir kontrollü faz kapısı uygulanarak . Sabitleyici $n$ $V$ $E\subset V\times V$ $G=(V,E)$ $\ket{+}^{\otimes n}$ $\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$ $C_Z$

s_{v} = X_{v} \prod_{\begin{matrix} w \in V \\ (v, w) \in E \end{matrix}} Z_{w} .

$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$

Örneğin iki kubit durumlu . Sabitleyici . Şimdi almak için geçidini uygulayın . (Eyalet , Bell durumuna eşit yerel üniterdir) $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$ $\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$ $C_Z$ $\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$ $\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Stabilizatör formalizmi ayrıca kuantum hata düzeltmesinde önemli bir rol oynar.

— M. Stern
kaynak

3

Basit vektör gösteriminden daha az bellek ve / veya hesaplama gücü kullandığı için daha kompakt bir gösterim kullanılabilir mi? O nasıl çalışır?

Kaynak: " Birden Çok Kutup ":

"Tek bir kübit, elli bir kübit kuantum hesaplamanın simüle edilmesi, mevcut süper bilgisayarların sınırlarını zorlayacak kadar basit bir şekilde modellenebilir. Hesaplama gücünün bu hızlı ikiye katlanması, nispeten az sayıda kubbesi olan bir kuantum bilgisayarın neden bazı hesaplama görevleri için bugünün, yarının ve ötesinin en güçlü süper bilgisayarlarını geçebileceğidir. "

Yani Paul'e ödeme yapmak için bir Ponzi şemasını kullanamazsınız ya da Peter'ı soyamazsınız . Sıkıştırma belleği hesaplama karmaşıklığı pahasına koruyacak veya daha esnek bir alanda (daha büyük) temsil hesaplama karmaşıklığını azaltacaktır, ancak bellek maliyetiyle. Temelde ihtiyaç duyulan şey daha yetenekli donanım veya daha akıllı algoritmalardır.

İşte bazı yöntemler:

Kübit metriğinin kuantum hal kümelerinin hacminin sıkıştırılması:

Fisher bilgi metrik "'de tartışılan bir bilgi geometri yaklaşımı kullanılarak QuBit hacmini eşlemek için kullanılabilir bilgi Geometri ile iki QuBit Devletler Cilt ", " Fisher Bilgi ve Cramer-Rao Analizi Doğrusal olmayan parametre tahmini için Bound Sıkıştırılmış Algılamadan Sonra "ve" Fisher Information ve Cramer-Rao sınırlarının sezgisel açıklaması ".

İşlenen sıkıştırmaya benzer:

Mantıksal işlemlerin derinlik-optimum ayrıştırmalarının hesaplanması : " Derinlik-optimal kuantum devrelerinin hızlı sentezi için ortadaki buluşma algoritması " veya " Parçacığın boyutunun kodlanması " konulu Quora tartışması .

Bellek sıkıştırmasına benzer:

Üçlü aritmetik kullanarak Qutrit çarpanlara ayırma: " Qutrits ile Faktoring: Shor'un Üçlü ve Metaplektik Kuantum Mimarileri Üzerine Algoritması " ve " Projeksiyon İşlemlerini Kullanarak Kuantum Üçlü Devre Sentezi ".

Geleneksel optimizasyona benzer

" Minimum Özel-Veya İfadeleri Bulmak İçin Bir Kuantum Algoritması ".

Diğer:

Krull Boyutlar veya aksiyomatizasyon ve grafik yeniden yazma: " Pure Qubit Clifford + T Kuantum Mekaniği için ZX hesabının tamlığı ".

Bu teknikleri birleştirerek ayağı ayakkabının içine sıkabilmelisin. Bu, geleneksel işlemcilerde daha büyük sistemlerin emülasyonuna izin verecektir, sadece doktora düzeyinde çalışmayı açıklamamı veya kodu yazmamı istemeyin. :)

— soymak
kaynak