Bir kibrit ölçüsü diğerlerini nasıl etkiler?

21

Bir kuantum bilgisayarının durumunu temsil etmek için, tüm kargalar bir durum vektörüne katkıda bulunur (bu benim anladığım gibi kuantum ve klasik hesaplama arasındaki en büyük farklardan biridir). Anladığım kadarıyla, bir litrelik sistemden sadece bir litrelik bir ölçüyü ölçmek mümkün. Bir qubitin ölçülmesi tüm sistemi nasıl etkiler (özellikle durum vektörünü nasıl etkiler)?

quantum-state measurement

— heather
kaynak

15

Qubitlere bakmanın birçok farklı yolu vardır ve devlet vektörel formalizmi bunlardan sadece bir tanesidir. Genel bir doğrusal-cebirsel anlamda bir ölçüm, bir temele yansıtılır. Burada, Pauli'nin gözlemlenebilir bakış açısına göre, QC'nin normal devre modeli olan bir örneğini anlatacağım.

Öncelikle, durum vektörünün temeli olarak temellendirilmesi söz konusudur - her ölçüm operatörü bir dizi eigenstat ile gelir ve hangi ölçümlere bakarsanız bakın (örneğin , vb.) Durum vektörünü yazmanız için en iyi yol olabilir. Sorunuzu yanıtlamanın en kolay yolu, hangi temanın sizin için hangi temeli ilgilendirdiğini biliyorsanız ve daha da önemlisi, yaptığınız ölçümle uygun olup olmadığını bilmektir . $X,Y,Z, XX, XZ$

Bu yüzden sadelik uğruna, diyelim ki basisinde her iki çeyrek için de yazılı olarak keyfi bir durumda iki birleştirilmiş litre ile başlıyorsunuz: $Z$

| ψ ⟩ = bir | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

Yapabileceğiniz en basit ölçümler olacağını ise, ardından ilk QuBit üzerine operatör, , ikinci QuBit üzerinde operatörü. Ölçüm ne yapar? Devleti eigenstatlardan birine yansıtır. Bunu, henüz ölçtüğümüze aykırı olan tüm olası cevapları ortadan kaldırmak olarak düşünebilirsiniz. Örneğin, ölçtüğümüzü ve sonucunu elde ettiğimizi, sonra elde edeceğimiz durumu şöyle söyleyelim : $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

Öndeki katsayının sadece yeniden yapılanma için olduğunu unutmayın. Ölçme eden olasılık Böylece olduğu. Bunun ilk durumda sahip olduğumuz olasılığımızdan farklı olduğunu unutmayın; bu, . $Z_{2}=0$ $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

Ancak, yaptığınız bir sonraki ölçümün bir öncekiyle işe yaramadığını varsayalım. Bu daha zordur, çünkü olasılıkları anlamak için durum vektörüne bir temel değişikliği uygulamanız gerekir. Pauli ölçümleriyle, özdeğer tabanları hoş bir şekilde ilişkili olduğu için kolay olma eğilimindedir:

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

Anlayışınızı kontrol etmenin iyi bir yolu: Yukarıdaki ölçümünden sonra ölçme olasılığı nedir ? ölçümünü yapmamış olsaydık olasılık nedir ? Öyleyse, daha karmaşık bir soru, her iki sırada da hareket eden ürün operatörlerine bir kerede bakmaktır; örneğin, ölçümü başlangıçtaki durumu nasıl etkiler? Burada , iki operatörün ürününü ölçer. $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— Emily Tyhurst
kaynak

2

Güzel ve basit cevap. Açıklamanızın, sadece a) yansıtmalı ölçümler yapmanız ve b) ölçümün sonucunu bilmeniz durumunda doğru olduğunu not etmek önemlidir . Sadece genel olarak ölçüm sonrası durumu tanımlamak için karma durumlara ihtiyacınız olacağını unutmayın.

— M. Stern,

7

Ölçümden önce, qubit sisteminizin bazı durumlarda , burada Hilbert alanı olduğunu . Tek bir kibrit. Yaz bir katsayılar için şekilde . $n$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

| ψ ⟩ = \underset{x \in {0, 1}^{n}}{Σ} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$

İlk standart olarak ölçüyorsanız, tanımlayın ve ve . İlk qubit durumunu , tüm sistemin durumunu göstermek zor değil "
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \underset{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}}{Σ} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \underset{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}}{Σ} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_0 \rangle$ ve elde ederseniz elde ettiğiniz şey . $\lvert 1 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$
Bu, koşullu olasılık dağılımları fikrine tamamen benzemektedir: , ilk şartlandırılmış sistemin durumu olarak ve olarak İlk şartlandırılmış sistemin ( ilk veya durumunda "gizlice" olmadığı gerçeğinden ötürü, tabii ki hikaye biraz daha karmaşıktır ). $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $0$ $1$
Yukarıdaki ilk qubit ölçme üzerine sıkı bir şekilde bağlıdır değildir: tanımlayabilir ve bit dizisi olarak herhangi bir bit sabitleme açısından birine ya da , üzerinde yalnızca toplanmasıyla veya seçeneğiyle tutarlı olan ve yukarıdaki gibi ilerleyen bileşenler . $\lvert \varphi_0 \rangle$ $\lvert \varphi_1 \rangle$ $x$ $0$ $1$ $0$ $1$
Yukarıdakiler, Emily'nin belirttiği gibi, standart olarak ölçmeye de kesinlikle bağlı değildir. İlk qubit , ve , biz tanımlarız $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes {ben}^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \underset{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}}{Σ} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes {ben}^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \underset{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}}{Σ} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$ ve sonra yukarıdaki gibi ilerliyoruz.

— Niel de Beaudrap
kaynak

6

Diğer cevaplardan daha az resmi olarak ifade edilir, ancak yeni başlayanlar için bu videoda Prof. Vazirani tarafından belirtilen sezgisel yöntemi seviyorum .

Genel bir iki qbit durumunuz olduğunu varsayalım:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Şimdi, en anlamlı (en soldaki) qbit'i hesaplamalı olarak ölçtüğünüzü varsayalım (olduğu gibi, veya olarak daraltın ). Sorabileceğimiz iki soru var: $|0\rangle$ $|1\rangle$

Ölçülen qbit'in rangle'a daralma olasılığı nedir ? Peki ya ? $|0\rangle$ $|1\rangle$
Ölçümden sonra 2-qbit sistemin durumu nedir?

$|0\rangle$ $|00\rangle$ $|01\rangle$ $|0\rangle$

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

$|1\rangle$ $|10\rangle$ $|11\rangle$

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

$|0\rangle$

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

Bununla birlikte, bu durum normalleştirilmez - karelerin toplamı 1'e kadar eklemez ve bu nedenle normalleştirmeniz gerekir:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

$|1\rangle$

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

normalize:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

Ve en basit durumda, bir qbit'i çoklu qbit durumunda ölçme eylemini bu şekilde hesaplarsınız!

— ahelwer
kaynak