Evrensel kapılarla kapıları yaklaştırmak, hesaplama süresiyle nasıl ölçeklenir?

Anladım ki keyfi kapıların, Solovay – Kitaev Teoremi olan sonlu bir evrensel kapı seti ile yaklaştırılabileceğine dair bir kanıt var . Bununla birlikte, yaklaşım, uzun bir hesaplamada yayılan ve biriken bir hata getirir. Bu muhtemelen hesaplamanın uzunluğu ile kötü bir ölçek? Muhtemelen yaklaşık bir algoritmayı tek bir kapıya değil, bir bütün olarak tam devreye uygulayabiliriz. Peki bu hesaplamanın uzunluğu ile nasıl ölçeklenir (yani, yaklaşım kapıların boyutu ile nasıl ölçeklenir)? Kapı yaklaşımı kapı sentezi ile nasıl ilişkilidir? Bunun hesaplamanın son uzunluğunu etkilediğini hayal edebildim mi?

Benim için daha da rahatsız edici: Kapı dizisinin derlendiği sırada hesaplamanın uzunluğu bilinmiyorsa ne olur?

— M. Stern
kaynak

$A$ $\left\lVert A\right\rVert$ $A$ $A$ $\epsilon$

O (\log^{c} \frac{1}{ϵ})

$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$

c < 4

$c<4$

İlk bölüm için:

yaklaşıklama, uzun bir hesaplamada yayılan ve biriken bir hata getirir

Peki, bir matrisi kullanarak bir diğerini yaklaşık olarak tahmin etmek için biriken hataların katkı maddesi olduğu gösterilebilir (bkz. Örneğin Andrew Child'ın ders notları ). Bu birim matris için, bir ve , . $U_i$ $V_i$ $\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

Ne uygulama açısından bu araç olduğu, genel bir hata fazla için elde edilmesi, her kapı ihtiyacı olan yaklaştırılabilir için ya da $\epsilon$ $\epsilon/t$

yaklaşık olarak devreye bir bütün olarak uygulanması

her bir kapıya yaklaştırmayı uygulamakla aynıdır, her biri ayrı bir hatayı tüm devreninkinden daha fazla değil, yaklaştığınız kapı sayısına bölünür.

Kapı sentezi açısından, algoritma kapı setinin ürünleri için net oluşturan oluşturmak üzere yapılır. herhangi bir ). Kimlikten başlayarak, hedef üniter etrafında daha sıkı bir ağ elde etmek için yeni kapı setinde yeni bir üniter özyineli olarak bulunur. İşin tuhafı, klasik bir algoritmanın bu işlemi gerçekleştirmesi için gereken zaman aynı zamanda , yani alt polinom zamanı. Ancak , $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\epsilon^2$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$ $\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$ Harrow, Recht, Chuang , boyutlarında, etrafında bir radius topu olarak bir hacim , bu katlanarak ölçeklenir içerisinde boyutları sabit olmayan bir sayı için. $d$ $\epsilon$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $\propto \epsilon^{d^2-1}$ $d^2$

Bunun son hesaplama süresi üzerinde bir etkisi vardır. Bununla birlikte, hem kapı sayısındaki ölçekleme hem de klasik hesaplama karmaşıklığı alt polinom olduğundan, bu en azından yaygın olarak kabul edilen sınıflar için herhangi bir algoritmanın karmaşıklık sınıfını değiştirmez.

İçin kapılar, genel olarak (zaman ve kapı) karmaşıklığı daha sonra $t$ .

O (t p o l y \log \frac{t}{ϵ})

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$

Üniter devre modeli ara ölçümler olmadan kullanıldığında, uygulanacak kapıların sayısı her zaman hesaplamadan önce bilinecektir. Bununla birlikte, ara ölçümler kullanıldığında durumun böyle olmadığını varsaymak mümkündür, bu yüzden yaklaşık olarak istediğiniz kapı sayısı bilinmiyorsa, bu bilinmediğini söyler . ve ne olduğunu bilmiyorsanız , açık bir şekilde her bir kapıya hatasına . Kapı sayısında bir sınır biliyorsanız (örneğin, ), genel bir hata almak için içindeki her bir kapıyı yaklaşık olarak tahmin edebilirsiniz $t$ $t$ $\epsilon/t$ $t_{\text{max}}$ $\epsilon/t_{\text{max}}$ $\leq\epsilon$ ve karmaşıklık ancak sayıda üst sınır yoksa bilindiği kapılarının , daha sonra her bir kapı bazı (küçük) yaklaştırılmış olur genel bir hata vererek (başlangıç bilinmemektedir) uygulanan kapılarının elde edilen sayıda , bir ile genel karmaşıklığı

O (t p o l y \log \frac{t_{max}}{ϵ}),

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$

ϵ^{'}

$\epsilon'$

\leq t^{'} ϵ

$\leq t'\epsilon$

t^{'}

$t'$

O (t^{'} p o l y \log \frac{1}{ϵ^{'}}) .

$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$

Tabii ki, bunun toplam hatası hala sınırsızdır, bu nedenle hatayı sınırlı tutmanın basit bir ¹ yolu, her seferinde hatayı, örneğin faktörü kadar azaltmaktır , böylece kapısı hata ile uygulandı . Karmaşıklık daha sonra genel (şimdi polinom) bir karmaşıklık bunun sınırlı bir hatayı garanti etme avantajına sahip olmasına rağmen. $2$ $n^{th}$ $\epsilon/2^n$

O (p o l y \log \frac{2^{n}}{ϵ^{'}}) = O (p o l y n \log \frac{1}{ϵ^{'}}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$

O (p o l y t \log \frac{1}{ϵ}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$

Bu çok kötü değil , bu yüzden (kapıların sayısı bilinmediğinde) klasik bilgisayarların en azından bir kuantum işlemcinin ihtiyaç duyduğu kadar hızlı doğru kapıları bulmaya devam edebileceğini umuyorum. Şu anda değilse, umarım kuantum işlemciler bir sorun haline gelebilir!

^{1 Yine de, muhtemelen en verimli değil}

— Mithrandir24601
kaynak