Evrensel kuantum kapılarının (CNOT, H, Z, X ve π / 8) “evrenselliği” için matematiksel gerekçe nedir?

Gelen bu cevap ben CNOT H, X, Z ve dile kapıları yakın herhangi üniter kuantum kapısı kopyalayan için keyfi olarak alabilirsiniz kapılarının yeterli sayıda verilen kapılarının evrensel küme oluşturur (Bilmem geldi Profesör Umesh Vazirani'nin EdX derslerinden bu gerçek). Fakat bunun matematiksel bir gerekçesi var mı? Olmalı! Alakalı makaleler aramayı denedim ama fazla bir şey bulamadım.$\pi/8$

Bahsettiğiniz cevap Michael Nielsen ve Isaac Chuang'ın , bu kapıların evrenselliğinin bir kanıtı olan Quantum Computation ve Quantum Information (Cambridge University Press) kitabına atıfta bulunuyor . (2000 sürümümde, bu, s. 194'de bulunabilir.) Anahtar görüş, geçidinin (veya geçidinin) geçidi ile birlikte , Bloch küresi üzerinde, açıları olan iki farklı rotasyon oluşturmasıdır. olan irrasyonel katları . Bu, ve kapılarının kombinasyonlarının Bloch küresinin yüzeyini yoğun bir şekilde doldurmasına ve böylece herhangi bir tek-qubit üniter operatörüne yaklaşmasına izin verir .$T$$\pi/8$$H$$2\pi$$T$$H$

Bu yapılabileceğini verimli gösterilir Solovay-Kitaev teoremi. Burada "verimli", içindeki polinom anlamına gelir , burada istenen doğruluktur. Bu durum Nielsen ve Chuang'ın kitabında da kanıtlanmıştır (2000 baskısında Ek 3). Açık bir yapı https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 adresinde bulunabilir .$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

CNOT kapılarının birleştirilmesi, Barenco ve ark. Phys. Rev. A 52 3457 (1995). (Bu yazının bir ön baskısı https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 adresinde bulunabilir .) Bu ayrıca Nielsen ve Chuang'da da tartışılmıştır (2000 baskısında s. 191).

ve bile ihtiyacınız yok . , ve yeterlidir.$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

1) ve , bir kübit üzerinde olası üniter dönüşümler yapmak için yeterlidir. 2) ekleyerek , sadece geçitlerini kullanarak herhangi bir hata içine genel bir birimsel dönüşüm sentezleyebilirsiniz .$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

Eğer hata için isterseniz olmak ve faz kapısı eklemek için yalnızca istekli , hala mümkün olduğunu , ancak ve Yapmak istediğiniz üniter elemanları formun yalnızca,: ; burada tüm değişkenler tamsayıdır. Dikkat çekici bir şekilde, bu kesin sentez için en fazla 1 yardımcı kubit gereklidir.$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

Başka bir evrensel geçit kümesi ve aslında tek yönlü olan tek bir kapı var: 3-qubit Deutsch kapısı .D ( θ $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$