Üniter

13

Bazı evrensel geçit seti (örneğin CNOT kapıları ve tek kubit üniteleri) kullanarak üniter bir devre ayrışmasına sahip olduğumuzu varsayalım . Kontrol karşılık gelen yekpare devresini yazmak için doğrudan bir şekilde var aynı evrensel kapı seti kullanılarak? $U$ $C_U$

Örneğin , bir devre olarak : $U=i Y = H X H X$

Biz yerine ile kapıları elde etmek için (CNOT) kapıları : $X$ $C_X$ $C_U$

Bu, çünkü kontrol kubit durumdaysa çalışır eylem iken bunun için devre uygulanır . Farklı , özellikle birkaç kubit üzerinde hareket ederse, böyle bir devre bulmak hantal olabilir. Bir devreyi elde etmek için bir reçete var mıdır inşa bilmelerini verilen ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
kaynak

keyfi bir qubit U'dan nasıl bir CU oluşturacağınızı mı soruyorsunuz? Bunu yapmak için bir yöntem N&C'nin 4. bölümünde bulunabilir (bkz. Son baskıdaki şekil 4.6), temel olarak gösterdiğiniz ayrışmanın genelleştirilmesidir

— glS

@glS oh vay, bunun farkında değildim. Tam benim örneğime benziyor.

evresini nasıl uyguladığını görmek güzel . Ama daha fazla hedef kubit için genellemeyi tartışmıyorlar mı?

α

$\alpha$

— M Stern

15

Soru tamamen iyi tanımlanmamış olabilir, çünkü bir ayrışmasından hesaplamak için bir yol istemek için kullanmak istediğiniz kapı kümesini belirtmeniz gerekir. Gerçekten de, herhangi bir -qubit ve tek-qubit işlemleri kullanılarak tam olarak ayrıştırılabileceği bilinen bir sonuçtur , böylece soruya naif bir cevap şöyle olur: sadece tek-qubit ve s kullanarak ayrıştırın . $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Verilen: Söz farklı bir yorumu şöyledir , can I işlem tek qubit işlemleri bir dizi kullanarak ve s olmayan kontrol QuBit üzerinde ve ilk qubit olan kontrol s? Bu, Nielsen & Chuang'ın dördüncü bölümünde bulunan bir sonucu genelleştirerek yapılabilir . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Let , tek qubit kapı olarak. Daha sonra her zaman olarak yazılabileceği kanıtlanabilir; burada , Pauli X kapısıdır ve ve , ( kanıt için bkz. Bunu takiben $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ burada bir kapı birinci QuBit uygulanan faz ve olan ikinci kubite uygulandı. Eğer bu ilk kübit , daha sonra

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ bir kimlik haline gelir ve ikinci kubit üzerinde kimlik veren

işlemlerine sahip olursunuz . Öte yandan, ilk kubit

, daha sonra ikinci rayına sahip

(birlikte faz) eşittir,

tanımı aracılığıyla tanımlanabilir.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Yukarıdaki ayrışma, genel bir qubit üniter geçidi için hesaplamak için naif bir yol bulmak için kullanılabilir . Ana gözlem, eğer olan kapılarının her kümesi için , daha sonra $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Ama aynı zamanda herhangi biliyoruz -qubit CNOTs açısından ve tek qubit operasyonlarda ayrıştırılabilir. Bu izler CCNOT ve bir dizisidir CCNOT bir burada işlemleri, kapı iki qubits olmasının şartlandırılmış bir QuBit uygulanan ve bir QuBit tek-qubit işlemdir. Fakat yine de, herhangi bir CCNOT işlemi (Toffoli olarakda bilinir), Şekil 4.9'da N&C ve de gösterildiği gibi ayrıştırılabilir.

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ cevabın ilk bölümünde gösterildiği gibi ayrıştırılır.

Bu yöntem, sadece ve tek-qubit kapıları kullanarak genel bir -qubit üniter geçidinin ( ayrıştırılmasına izin verir . Daha sonra daha ileri gidebilir ve çoklu kontrol kubitleri için bir ayrışma bulmak üzere genelleştirebilirsiniz. Bunun için sadece şimdi N&C'nin Şekil 4.9'unda bulunan Toffoli kapılarını ayrıştırmanın bir yoluna ihtiyacınız var. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— GLS
kaynak

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

Bu, sorunuza tam olarak cevap vermese de, bence bazı düşünme yönleri sağlayabilir. İşte iki önemli gerçek:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 Kuantum hesabı için temel kapılar-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Kontrollü Üniter Kapıların Optimal Gerçekleşmeleri - Guang Song, Andreas Klappenecker (Teksas A&M Üniversitesi)

— Sanchayan Dutta
kaynak