Tüm kuantum kapılar üniter olması gerekiyorsa, ya ölçüm?

Tüm kuantum işlemleri tersinirliği sağlamak için üniter olmalıdır, fakat ya ölçüm? Ölçüm bir matris olarak gösterilebilir ve bu matris bir kuantum geçidinin çalışmasına eşdeğer gibi görünen, bitlere uygulanır. Bu kesinlikle geri dönüşlü değil. Üniter olmayan kapılara izin verilebilecek durumlar var mı?

Üniter işlemler, yalnızca yoğunluk operatörlerini yoğunluk operatörlerine eşleyen doğrusal, tamamen pozitif haritalar ("kanallar") olan özel bir kuantum operasyonlarıdır . Bu, kanalın Kraus temsilinde belirginleşir,

Bununla birlikte, kuantum geçitler üniterdir, çünkü belirli bir süre için bir Hamiltonianın hareketi ile uygulanırlar; bu Schrödinger denklemine göre üniter bir zaman evrimi verir.

Kısa cevap

Kuantum işlemleri yok üniter olmak gerekir. Aslında, birçok kuantum algoritması ve protokolü unitarited olmayanlığı kullanır.

Uzun cevap

Ölçümler, tartışmasız en açık örnek, üniter olmayan geçişlerin algoritmaların temel bir bileşeni olduğunun en açık örneğidir (bir "ölçüm", decoherence işleminden sonra elde edilen olasılık dağılımından örnekleme ile eşdeğerdir. ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Daha genel olarak, olasılıksal adımları içeren herhangi bir kuantum algoritması üniter olmayan işlemler gerektirir. Akla gelen kayda değer bir örnek, HHL09'un lineer denklem sistemlerini çözme algoritmasıdır (bkz. 0811.3171 ). Bu algoritmada önemli bir adım haritalama , nerede | λ j ⟩ bazı operatörün özvektörleridir. Bu haritalama mutlaka olasıdır ve bu nedenle üniter değildir.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

(Klasik) ileri beslemeden yararlanan herhangi bir algoritma veya protokol aynı zamanda üniter olmayan işlemlerden de yararlanmaktadır. Bu, tek yönlü kuantum hesaplama protokollerinin tümüdür (adından da anlaşılacağı gibi, tersinir olmayan işlemler gerektirir).

Tek fotonlarla optik kuantum hesaplaması için en dikkat çekici şemalar ayrıca farklı fotonların durumlarını etkilemek için ölçümler ve bazen de seçim sonrası gerektirir. Örneğin, KLM protokolü , olasılıkla en azından kısmen geri dönüşü olmayan olasılıksal kapılar üretmektedir. Konuyla ilgili güzel bir inceleme quant-ph / 0512071 .

Daha az sezgisel örnekler, dağılmaya bağlı kuantum durum mühendisliği (örneğin 1402.0529 veya srep10656 ) ile sağlanmıştır . Bu protokollerde, açık harita dağıtıcı dinamiği kullanılır ve durumun çevre ile etkileşimi, sistemin uzun süreli durağan durumunun istenen şekilde olmasını sağlar.

Konu dışı kuantum hesaplama ve fiziğe girme riski altında, bu konuyla ilgili bir alt sorusu olduğunu düşündüğüm şeyi cevaplayacağım ve bunu üniter kapılardaki kuantum hesaplama tartışmasına bildirmek için kullanacağım.

Buradaki soru şudur: Niçin kuantum geçitlerde birliksizlik istiyoruz?

Daha az belirgin olan cevap yukarıdaki gibidir, bize 'geri dönüşümlüdür' ya da fizikçiler sık ​​sık konuştukları için sistem için bir tür simetri verir. Fiziksel dönüşümleri düşürülmesi isteğinden şu anda kuantum mekaniği bir dersi alıyorum ve üniter kapıları o dersten kadar kırpılmış yolu motive edilmiş U$\hat{U}$ : simetrileri vazifesi gören. Bu dönüşüm iki koşullar koydu U :$\hat{U}$

1. Dönüşümler devlet üzerinde doğrusal olarak hareket etmelidir (bu bize matris gösterimi veren şeydir).
2. Dönüşümler, olasılığı veya daha spesifik olarak iç ürünü korumalıdır . Bunun anlamı eğer tanımlarsak:

İç çarpım araçlarının korunması olduğunu . (Tam ayrıntıları Dr van Raamsdonk notlarını görüntülemek için bu ikinci şartname itibaren unitarity elde edilebilirburada).$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Bu nedenle, işleri “tersine çevreleyen” tutan operasyonların neden üniter olması gerektiği sorusuna cevap veriyor.

Ölçümün neden üniter olmadığı sorusu, kuantum hesaplama ile daha fazla ilgilidir. Ölçüm, temelde bir izdüşümdür; özünde, devletin kendisi olarak bir veya daha fazla temel durumla “cevap” vermelidir. Aynı zamanda devleti ölçüme "cevap" ile tutarlı bir biçimde bırakır ve devletin başladığı temel olasılıklarla tutarlı değildir . Bu nedenle, işlem bizim dönüşümümüzün spesifikasyonunu yerine getirir , ancak kesin olarak spesifikasyonu 2. yerine getirmez. Tüm matrisler eşit yaratılmaz!$U$

Olayları kuantum hesaplamaya geri döndürmek için, ölçümlerin yıkıcı ve yansıtıcı olduğu gerçeği (yani, süperpozisyonu, aynı durumların tekrarlanan ölçümleriyle yeniden yapılandırabiliriz ve her ölçüm bize sadece 0/1 cevap verir), yapılanın bir parçasıdır. kuantum hesaplama ve düzenli hesaplama ince arasındaki ayrım (ve bunu neden zorlamanın bir parçası). Biri, kuantum hesaplamanın Hilbert uzayının sadece büyüklüğü nedeniyle daha güçlü olduğunu varsayabilir, bu durumların tümü bizim için kullanılabilir durumdadır. Ancak bu bilgiyi çıkarma kabiliyetimiz büyük ölçüde sınırlıdır.

Anladığım kadarıyla, bu bilgi depolama amacıyla, bir oyunun yalnızca normal bir bit kadar iyi olduğunu ve daha iyi olmadığını gösterir. Ancak, altta yatan lineer-cebirsel yapı nedeniyle, bilginin çevrilme biçimiyle kuantum hesaplamada zeki olabiliriz.

Burada, çoğu, kuantum mekaniğinin yalnızca saf devlet biçimciliğine maruz kalmaktan kaynaklandığından kaynaklanan birkaç yanlış anlama vardır , bu yüzden, onları tek tek ele alalım:

1. Tüm kuantum işlemleri tersinirliği sağlamak için üniter olmalıdır, fakat ya ölçüm?

Bu yanlış. Genel olarak, bir kuantum sistemi durumları sadece Hilbert alan vektörler değildir fakat yoğunluk matrisleri - birim iz, Hilbert uzayında hareket pozitif yarı kesin operatörler , H , yani ρ : H → H , T R ( ρ ) = 1 ve p, ≥ 0 saf halde vektörleri Hilbert uzayında ama vektörler olmadıklarını (Not kompleks yansıtmalı uzayda ışınları , bir quBit Hilbert alan bu miktarlar olarak Cı P 1 ve Cı-$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Yoğunluk matrisleri, kuantum hallerinin istatistiksel bir kümesini tanımlamak için kullanılır.

Yoğunluk matrisi olarak adlandırılan saf halinde ve karışık ise ρ 2 < ρ . Bir kez saf hal yoğunluk matrisi ile uğraşıyorsak (yani, istatistiksel bir belirsizlik yoktur), ρ 2 = ρ olduğundan, yoğunluk matrisi aslında bir projeksiyon operatörüdür ve biri | ψ ⟩ ∈ H öyle ki ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | .$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

En genel kuantum işlemi bir CP haritasıdır (tamamen pozitif harita), yani öyle ki Φ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K † i ; Σ i K † ı K i ≤ I (eğer Σ i K † ı K i = $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Şimdi, OP’nin tüm kuantum operasyonlarının tersine çevrilebilirliği sağlamak için üniter olduğu iddiasına gelince, bu doğru değil. Zaman evrimi operatörünün harikası ( $e^{-iHt/\hbar}$Kuantum mekaniğindeki (kapalı sistem kuantum evrimi için) ) , Schrödinger denkleminin bir sonucudur.

Bununla birlikte, yoğunluk matrislerini göz önüne aldığımızda en genel evrim bir CP haritasıdır (ya da izi korumak ve dolayısıyla olasılığı korumak için kapalı bir sistem için CPTP).

2. Üniter olmayan kapılara izin verilebilecek durumlar var mı?

Evet. Akla gelen önemli bir örnek, Kraus operatörlerinin (üniter olmayan) sistemin geliştiği “kapılar” olduğu açık kuantum sistemleridir.

Not yani sadece tek bir Kraus operatörü sonra varsa $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (bu daha önce görmüş olabileceğiniz standart evrimdir). Bununla birlikte, genel olarak, birçok Kraus operatörü vardır ve bu nedenle evrim üniter değildir.

Son noktaya geliyoruz:

3. Ölçüm bir matris olarak gösterilebilir ve bu matris bir kuantum geçidinin çalışmasına eşdeğer gibi görünen, bitlere uygulanır. Bu kesinlikle geri dönüşlü değil.

Standart kuantum mekaniğinde (dalga fonksiyonları vb.), Sistemin evrimi iki bölümden oluşur $-$$-$$|\phi\rangle \langle\phi|$$|\psi\rangle$$|\langle\phi|\psi\rangle|^2$$|\phi\rangle$ölçümden sonra. Ölçüm operatörü sonuçta bir projektörün (veya OP'nin önerdiği gibi, bir matris) olduğu için, üniter evrime doğrusal ve fiziksel olarak benzememesi gerekir (ayrıca bir matris aracılığıyla gerçekleşir). Bu ilginç bir soru ve benim görüşüme göre, fiziksel olarak cevaplamak zor. Ancak buna matematiksel olarak biraz ışık tutabilirim.

$\{M_{i}\}$$\mathcal{H}$$\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$$M_i$$\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$$p_i$ doğrusal olmama veya geri dönüşümsüzlük getirdiğine dikkat edin .

Düzenleme 1: Ayrıca, CPTP haritası ile daha büyük bir Hilbert uzayında üniter bir işlem arasında izomorfizm veren Stinespring dilation teoremi ve ardından (gerilmiş) Hilbert alanını kısmi olarak takip ederek (bkz. 1 , 2 ) .

Diğer cevapları tamamlayan küçük bir parça ekleyeceğim, sadece ölçüm fikriyle ilgili.

Ölçüm genellikle kuantum mekaniğinin bir varsayımı olarak alınır. Hilbert uzayları hakkında genellikle bazı önceki varsayımlar vardır, ancak bunu takip eder.

• $A$$\hat{A}$$\mathcal{H}$ . Bu operatöre gözlemlenebilir denir ve özdeğerleri bir ölçümün olası sonuçlarıdır.
• Gözlenebilir bir ölçüm yapılırsa $A$$\psi$$a_n$ $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ $\hat{P}_n$$a_n$

$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$$\hat{P}^2=\hat{P}$$1$$0$$\hat{P}_n$$1,0$$a_n$$|\psi\rangle$

Ölçümler üniter işlemlerdir, sadece görmüyorsunuz: Ölçüm, sadece sistem üzerinde değil aynı zamanda çevresi üzerinde de etki eden bazı karmaşık (kuantum) işlemlere eşdeğerdir. Eğer biri her şeyi bir kuantum sistemi (çevre de dahil olmak üzere) şeklinde modellemiş olsaydı, tümüyle üniter operasyonlar olurdu.

Bununla birlikte, genellikle bu konuda çok az nokta vardır, çünkü çevre üzerindeki eylemi tam olarak bilmiyoruz ve genellikle umursamıyoruz. Yalnızca sistemi göz önüne alırsak, sonuç, aslında üniter olmayan bir işlem olan dalga işlevinin iyi bilinen çöküşüdür.

Kuantum halleri iki yolla değişebilir: 1. kuantum , 2. klasik .

1. Nicel olarak meydana gelen bütün devlet değişimleri üniterdir . Tüm kuantum geçitleri, kuantum hataları vb . Kuantum değişimleridir .

2. Klasik değişikliklerin üniter olma zorunluluğu yoktur , örneğin ölçüm klasik bir değişimdir .

Daha da fazla neden, kuantum durumunun ölçüldüğü zaman 'rahatsız' olduğu söyleniyor.