Süperpozisyonlar ve karışık durumlar arasındaki fark nedir?

Şimdiye kadar anladığım kadarıyla: saf bir durum bir sistemin temel bir durumudur ve karışık bir durum sistem hakkındaki belirsizliği temsil eder, yani sistem bazı (klasik) olasılıklara sahip bir dizi durumdan birindedir. Ancak, üstüste binmeler de bir çeşit devlet karışımı gibi gözüküyor, peki bu resme nasıl uyuyorlar?

Örneğin, bir bozuk para çevirmeyi düşünün. Karma bir “kafa” durumu olarak temsil edebilirsiniz $\left|0\right>$ ve “kuyruk” $\left|1\right>$ :

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Bununla birlikte, “kafalar” ve “kuyruklar” üst üste binmesini de kullanabiliriz: spesifik durum $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$yoğunluğu ile

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Hesaplama temelinde ölçersek, aynı sonucu alırız. Üst üste binmiş ve karışık durum arasındaki fark nedir?

Hayır ,iki farklı durumun üstüste binmesi , aynı durumlarınbir karışımından tamamen farklı bir canavardır. ve ρ 2'nin aynı ölçüm sonuçlarını ürettiğigörülebilmesine rağmen(ve aslında durum budur), farklı bir temelde ölçtüğünüzde, ölçülebilir derecede farklı sonuçlar verecektir .$\rho_1$$\rho_2$

gibi bir "süperpozisyon" a, saf halde . Bu, tamamen karakterize edilmiş bir durum olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, açıklamasına ekleyerek "daha az belirsiz" yapabilecek hiçbir bilgi yoktur. Her saf durumun diğer saf durumların süperpozisyonu olarak yazılabileceğini unutmayın . Belirli bir durum diğer durumların üst üste binmesi olarak yazmak, kelimenin tam anlamıyla bir bazda vektörü yazmakla aynı şeydir : her zaman temeli değiştirebilir ve farklı bir temsilini bulabilirsiniz .| ψ $\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Bu, gibi karışık bir durumla doğrudan tezat oluşturuyor . durumunda , sonuçların olasılıklı doğası , devletin kendisi hakkındaki cehaletimize bağlıdır . Bu, prensip olarak, bize gerçekten de veya devlet olup olmadığını söyleyecek bazı ek bilgiler elde etmek mümkün olduğu anlamına gelir .$\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$$\up$$\down$

Karışık bir devlet, genel olarak, saf bir devlet olarak yazılamaz. Bu, yukarıdaki fiziksel sezgiden açıkça anlaşılmalıdır: karışık durumlar , fiziksel bir durum hakkındaki bilgisizliğimizi temsil ederken, saf durumlar tamamen tanımlanmış durumlardır, bu da kuantum mekaniğinin çalışma şekli nedeniyle hala olasılıksal sonuçlar verir.

Gerçekten de, belirli bir (genellikle karma) devlet olmadığını anlatmak için basit bir kriter var olarak yazılabilirbazı (saf) durum için : saflığını hesaplamak . Bir durum saflığı olarak tanımlanır , ve bu durum saflığı standart bir sonucudur , ancak ve ancak, eğer durum saf (ve daha az daha aksi takdirde).$\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$$\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

Kısa cevap, kuantum bilgisinde "belirsizlik" ten daha fazlası olduğudur. Çünkü bir devleti ölçmenin birden fazla yolu vardır; ve o prensipte depolamak ve bilgi alabileceği, birden fazla dayanağı yoktur çünkü. Süperpozisyonlar, bilgiyi hesaplama temelinden farklı bir temelde ifade etmenize izin verir - ancak karışımlar , duruma bakmak için hangi temeli kullanırsanız kullanın, olasılıklı bir öğenin varlığını tanımlar.

Daha uzun cevap şu şekildedir -

Açıkladığınız gibi ölçüm, özellikle hesaplama temelinde ölçülür. Bu genellikle kısalık adına "ölçüm" olarak tanımlanır ve topluluğun büyük alt kümeleri bunun bir şeyi ölçmenin birincil yolu olduğunu düşünür. Ancak birçok fiziksel sistemde, bir ölçüm temeli seçmek mümkündür .

üzerindeki bir vektör uzayı birden fazla temele (birden fazla ortonormal esasına göre) sahiptir ve matematik düzeyinde, matematikçinin düşünmesi için uygun olanın yanı sıra, bir temeli diğerinden daha özel yapan çok fazla şey yoktur. hakkında. Aynı şey kuantum mekaniğinde de geçerlidir: bazı spesifik dinamikleri belirtmedikçe, diğerlerinden daha özel bir temel yoktur. Hesaplama baz bu Bu demektir ki olduğu gibi temelden fiziksel olarak farklı değil | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ | ψ⟩∈C2| +⟩| - $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ aynı zamanda ortonormal bir temeldir. Bu bir durumu , sonuçların olasılıkları bu durumlara yansımalara bağlı olacak şekilde "ölçmek" için bir yol olması gerektiği anlamına gelir ve .$\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Bazı fiziksel sistemlerde, kişinin bu ölçümü gerçekleştirme şekli, aynı aygıtı tam anlamıyla almak ve Z ekseni yerine X ekseni ile hizalanacak şekilde eğmektir. Matematiksel olarak, bunu yapma ve ardından projeksiyonlarının ne olduğunu sormak için ve . norm karesi, "ölçüm olasılığını belirler

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$"ve" ölçüm "ve 1 l' bir norm olması için veya normalleştirilmesi ölçüm sonrası durumunu verir. (Tek bir qubit üzerindeki bir durum için , bu sadece veya olacaktır.Çoklu qubit durumlarını göz önüne alırsak ve projektörü veya birçok hareket daha ilginç ölçüm sonrası durumlar ortaya çıkabilir. .)$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Yoğunluk operatörleri, bir devlet sürer üzerinde bir ölçüm gerçekleştirmek ve düşünebilirsiniz ve . Bu operatörler alt normalize aynı şekilde olabileceğini devletler onlar 1'den daha az iz değerini izini olabileceğini anlamda olabilir olasılığıdır veya sonucunun elde edilmesi ; Renormalize etmek için izlenen operatörü iz 1 olacak şekilde ölçeklendirmeniz yeterlidir.$\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Yukarıda durumunuzu düşünün . Eğer göre de ölçerseniz temeli, ne bulacaksınız olmasıdır . Bu, operatörün ile projelendirilmesinin durumu değiştirdiği ve değerini ölçüme olasılığının 1 olduğu anlamına gelir. Bunu ile , 50/50 veya alma şansı . Bu yüzden durumu karışık bir durumdur, ise --- fark budur | ± ⟩ ρ 2 = ρ 2 , + : = Π + ρ 2 Π + Π + | + ⟩ P, 1 | + ⟩ | - ⟩ ρ 1 ρ 2 ρ 2 ρ $\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$standart temelden farklı bir ölçüm bazında kesin bir sonuca sahiptir . hesaplama temelinden farklı bir temelde de olsa kesin bir bilgi depoladığını söyleyebilirsiniz .$\rho_2$

Daha genel olarak, karışık bir durum, en büyük öz değeri 1'den düşük olan bir durumdur, yani kesin bir sonuç elde etmek için ölçebileceğiniz bir temel yoktur. Süperpozisyonlar, bilgiyi hesaplama temelinden farklı bir şekilde ifade etmenizi sağlar; karışımlar, bu sistemi nasıl ölçtüğünüze bakılmaksızın, düşündüğünüz sistemin durumu hakkında bir derece rastgelelik gösterir.

GlS 'yazısı ile birlikte:

Karışık bir durum, bir kutu boyaya sahip olsaydınız olurdu, ancak mavi mi yoksa sarı mı olduğundan emin değildiniz. Bunun ikisinden biri olduğunu biliyorsunuz ve üstünü açıp ölçtüğünüzde bilirsiniz, ama bunu yapana kadar bu iki saf durumdan birinde. Sarı olarak eşit sayıda mavi boya kutusunun olduğunu bildiğiniz bir kutu yığınından aldıysanız, birinin ya da diğerinin eşit şansı olmasını beklersiniz. Zamanın% 50'si% 100 sarı,% 50'si% 100 mavi olacaktır.

Üst üste binme, yarım kutu mavi ve yarım kutu sarı alır ve bunları bir araya getirirseniz daha çok benzerdir. Şimdi diğer saf durumların bir kombinasyonu olarak ifade edilebilen yeni bir saf durum inşa ettiniz. Eğer onun maviliğini test ederseniz, bu yaklaşık% 50'dir. 'Sarılığını' test ederseniz, yaklaşık% 50'dir. Aynı anda hem sarı hem de mavidir. Zamanın% 100'ü hem% 50 mavi hem de% 50 sarıdır.

Bir mavi veya sarı kutu yığınındaki mavi ve sarı miktarını ve daha sonra başka bir yeşil yığınındaki miktarı ölçtüyseniz, her iki yığınta da çok fazla mavi ve sarıya sahip olduğunuzu görmek karışık olabilir. mavilik 've' sarılık 'sonraki yığında karışık bir durumdadır ancak sonrakinde üstüste binmektedir.