Açık Lieb-Robinson Hız Sınırları

Lieb-Robinson sınırları, yerel bir Hamiltonian nedeniyle etkilerin bir sistemde nasıl yayıldığını açıklıyor. Bunlar genellikle biçiminde tanımlanır burada ve , Hamiltoniyenin bir kafes üzerinde mesafesiyle ayrılan operatörlerdir. Bir miktar tarafından sınırlanan bu kafes üzerinde yerel (örneğin en yakın komşu) etkileşimleri vardır . Bağlı olan Lieb Robinson'un kanıtları tipik olarak hızının varlığını göstermektedir (bu bağlıdır ). Bu, genellikle bu sistemlerdeki özellikleri sınırlamak için yararlıdır. Mesela, burada gerçekten çok güzel sonuçlar vardı.

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ En yakın komşu Hamiltonian'ı kullanarak GHZ devleti oluşturmak ne kadar sürerse.

Sahip olduğum sorun, kanıtların yeterince belirli olması ve herhangi bir sistem için hızın gerçekte ne olduğuna dair sıkı bir değer elde etmenin zor olması .

Daha açık olmak gerekirse, bir Hamiltonyen birleştirilmiş bir boyutlu burada tüm . İşte , ve verilen bir QuBit uygulanan bir Pauli operatörü temsil ve başka her yerde. Denklemdeki sistem için Lieb-Robinson hızı için iyi bir (yani mümkün olduğunca sıkı) üst sınır verebilir misiniz? (1)?

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

Bu soru iki farklı varsayım altında sorulabilir:

ve Zamanla bütün sabitlenir $J_n$ $B_n$
ve zaman içinde değişir izin verilir. $J_n$ $B_n$

İlki, kanıtları kolaylaştırabilecek daha güçlü bir varsayımdır, ikincisi ise genellikle Lieb-Robinson sınırları beyanına dahil edilir.

Motivasyon

Kuantum hesaplaması ve daha genel olarak kuantum bilgisi, ilginç kuantum durumları haline gelir. Gibi eserleri sayesinde bu , bilgi denklemde verilen nedeniyle Hamilton böyle bir yerden bir yere bir evrim geçirmekte olan kuantum sisteminde diğerine yaymak için belli bir miktar alır görüyoruz. (1) ve GHZ ülkeleri veya topolojik bir düzene sahip devletler gibi kuantum durumlarının üretilmesi belirli bir zaman almaktadır. Sonucun gösterdiği şey ölçeklendirme ilişkisidir, örneğin gereken süre . $\Omega(N)$

O halde diyelim ki, doğrusal olarak ölçeklenecek şekilde bilgi aktarımı yapan veya bir GHZ durumu vb. Üreten bir şema ile geldim . Bu plan aslında ne kadar iyi? Net bir hıza sahipsem, ölçekleme katsayısının alt sınırla karşılaştırıldığında planımla ne kadar uyumlu olduğunu görebilirim. $N$

Bir gün görmek istediğim şeyin laboratuarda uygulanan bir protokol olduğunu düşünüyorsanız, o zaman bu ölçeklendirme katsayılarını optimize etmeyi çok isterim, sadece geniş ölçekleme işlevselliğini değil, çünkü bir protokolü ne kadar hızlı uygularsam o kadar az şans Gürültünün ortaya çıkması ve herşeyi karıştırması

Daha fazla bilgi

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Bu Hamiltonian'ın hesaplamayı kolaylaştıracağını düşündüğüm bazı güzel özellikleri var. Özel olarak, Hamiltonian standart bazda 1'lere dayanan bir alt-alan yapısına sahiptir (uyarma korumasının olduğu söylenir) ve daha da iyisi, Ürdün-Wigner dönüşümü, yüksek uyarma alt-alanlarının tüm özelliklerinin türetilebileceğini gösterir 1-uyarım alt uzayından. $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ burada Lieb-Robinson hızının burada ve burada olduğu gibi olduğuna dair bazı kanıtlar var , ancak bunların hepsi bir grup hızı olan tek biçimli birleştirilmiş bir zincire yakın bir değer kullanıyor (ve grup hızının, Lieb-Robinson hızı). Tüm olası bir birleştirme gücü seçimlerinin bu kadar sınırlı bir hıza sahip olduğunu kanıtlamaz.

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

Motivasyona biraz daha ekleyebilirim. Zaman zincirinin bir ucunda başlayan bir tek uyarma evrimi, göz önünde , ve ne de amplitüd zincirinin diğer ucunda gelen içindir , kısa bir süre daha sonra. içindeki ilk sırada , bu Bir Lieb-Robinson sistemi tarafından tanımlanan “ışık konisinin” dışında olmasını beklediğiniz üssel işlevselliği görebilirsiniz, ancak daha önemlisi, bu genliği en üst düzeye çıkarmak istiyorsanız, tüm $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$

. Bu nedenle, kısa zamanlarda, düzgün bir şekilde birleştirilmiş sistem en hızlı aktarıma yol açar. Bunu daha fazla zorlamaya , ne zaman Büyük sınırını almak ve Stirling'in formülünü kullanmak, yol açar bu da azami bir hızını . Yakın, ancak çok katı (yüksek dereceli şartlar ihmal edilemez)!

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
kaynak

En iyi LR sınırını bu modelin kanıtlarından hesapladınız mı? Alıntıladığın hız ile nasıl karşılaştırılır?

— Norbert Schuch

Tamam, en azından şimdi yorumladığım şekilde, kuantum hesaplama sorusu olduğunu kabul ediyorum: " Bilgi / durum / ... aktarımı için maksimum hızı sağlayan ve (bazı kısıtlamalara tabi) seçimi nedir . " --- Bu doğru yorum mu?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch Çok değil. "Belli bir ölçeklendirmeye sahip bir protokole ulaşan bir dizi bağlantı buldum. Bu protokolün Lieb-Robinson sınırları tarafından kısıtlandığı biliniyor. Bu kısıtlamayı doyurmaya ne kadar yakınım?" protokolümün ne kadar hızlı olduğunun bir ölçütü olarak.

— DaftWullie

@DaftWullie Öyleyse - soruyorsunuz: "En iyi olmak için ne kadar yakınım?" Veya "Bir tür sınırlamaya ne kadar yakınım (en katı olanı alarak)"?

— Norbert Schuch

@ user1271772 Bu doğru.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Genel olarak yerel olarak etkileşime giren bir kafes modeliyle karşılaştığınızda Lieb-Robinson (LR) hızını nasıl yakalayacağınıza dair genel soruyu cevaplayayım, ve ardından sorunuzdaki 1D XY modeline geri döneceğim, tam olarak çözülebilir olması için özel.

Genel Yöntem

Bugüne kadarki en sıkı sınırı elde etme yöntemi (genel bir kısa menzilli etkileşim modeli için) Ref1 = arXiv: 1908.03997'de açıklanmıştır . Temel fikir, eşit olmayan zaman komütatörünün normununkeyfi yerel operatörler arasında , modelin komütabilite grafiğinde yaşayan bir dizi birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemin çözümü ile üst sınırlandırılabilir . Ref1 arasında Sec.II A'da dahil olarak Yerdeğiştirme grafik, kolayca model-Hamilton çıkarılabilecek , ve sunulan farklı yerel operatörler arasında komütasyon ilişkileri yansıtacak şekilde tasarlanmıştır $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ . En eigenfrequency hesaplanabilir için değişmez sistemlerinde, diferansiyel denklem bu dizi kolayca bir Fourier Dönüşümü çözülebilir ve bir üst LR hızının bağlı kullanılarak Denk. (31) Ref1 . Aşağıda bu yöntemi pedagojik bir örnek olarak 1D XY modeline uygulayacağım. Basit olması için, zamandan bağımsız ve çeviri değişken olmayan duruma , (sonuçtaki sınır belirtilerine bağlı değildir. $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ). Değişmeyen, zamana bağlı olmayan çeviri için, diferansiyel denklemi sayısal olarak çözebilirsiniz (bu, binlerce sitenin sistemleri için kolay bir hesaplama görevidir) veya genel bir üst sınır kullanabilirsiniz ve aşağıdaki yöntemi kullanmaya devam edin (ancak bu, sayısal yönteme kıyasla sıkılığı hafifçe ). $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

İlk önce, aşağıdaki gibi komütabilite grafiğini çiziyoruz. Hamiltonian ~ 'daki her bir operatör ~ ( , , ) bir köşe ile temsil edilir ve eğer sadece ilgili operatörler işe , iki köşeyi birleştiririz ( veya, mevcut durumda, gidip gelme). $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
Ardından, Ref1'in Denklem (10) denklemlerini yazın :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Fourier, yukarıdaki denklemi dönüştürdü, Öz frekanslar . LR hızı, Ref1'in Denklem (31) 'i tarafından verilir : nerede
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Not: Bu sınır, olduğunda farklılaşırken , fiziksel bilgi yayılma hızı sınırlı kalır. Sec'deki yöntemi kullanarak bu problemden kurtulabiliriz. Ref1'in VI . Sonuç, bu sınırda , burada , denkleminin çözümü olarak tanımlanmıştır. . $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

Bazı klasik modeller için hız sınırları

Yukarıdaki yöntem tamamen geneldir. Daha fazla ilgileniyorsanız, aşağıdaki tabloda bazı klasik modellerin hız sınırlarını benzer şekilde elde ettim. LR hızının , listelenen tüm ifadelerin en küçüğü ile üst sınırlandığına dikkat edin (bu nedenle farklı parametre bölgelerinde farklı ifadeler kullanılmalıdır). Fonksiyonu en büyük kök olarak tanımlanırTüm parametrelerin pozitif olduğu varsayılmaktadır (sadece negatif durumlar için mutlak değer). $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

Bu sınırların ne kadar iyi olduğu konusunda, genel olarak araştırma yapmadım, ancak kritik nokta h'deki 1D TFIM için , kesin çözüm verirken, yukarıdaki sınır verirken . Benzer şekilde, noktasında ve Heisenberg XYZ noktasında, yukarıdaki sınırların hepsi, bir ' faktörü ile kesin çözümden daha büyüktür . [Aslında, bu özel noktalarda, son ikisi, komütabilite grafiğinden doğrudan değerlendirilebileceği gibi, TFIM'in ayrık zincirlerine eşdeğerdir.] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

Serbest fermiyonları eşleyerek 1D XY'ye daha sıkı bağlanır

Şimdi 1D XY modeli hakkında daha fazla konuşalım. Fark ettiğiniz gibi, serbest eşleştirerek tam olarak çözülebilir: Genel olarak serbest-fermantasyon problemini sayısal olarak çözmeniz gerekir, fakat analitik olarak izlenebilen iki özel durumdan bahsedeyim.

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ sabittir ve çeviri değişmezdir. O zaman kesin çözüm burada ,. Bu yüzden LR hızı .
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ zamanla sabittir, fakat tamamen rastgeledir (söndürülmüş bozukluk). Daha sonra birçok vücut lokalizasyonu (ya da fermantasyon resmindeki Anderson lokalizasyonu) nedeniyle, bilgi bu sistemde yayılmaz, bu nedenle . Daha titizlikle, arXiv'de: quant-ph / 0703209'da , aşağıdaki durum düzensiz durum için kanıtlanmıştır: yavaşlayan, logaritmik ışık konisi ile . $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Lagrenge
kaynak

Bunu neden söylediklerine ben dan çıkarmak mı her modeli ile (çeviri değişmezliği olmayanlar dahil) hız olduğunu, ?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie

@DaftWullie Hayır, genel yöntemdeki parametreler için yalnızca genel bir üst sınır kullanabilirsiniz, çünkü genel yöntem her zaman herhangi bir katsayının mutlak değerinde kesin olarak düşmeyen bir sınır verir. Ciltli Eğer genel bir üst parametreleri için bağlı kullanın ve duruma göre çözmek zorunda değilsiniz hangi serbest fermiyon kesin çözümü, elde edilir. Eğer için değişmez olduğu, daha sonra ayarlayabilir itibaren genel yöntem ile terimi gidip , ve elde .

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Lagrenge

@DaftWullie Sevgili DaftWullie, cevabımda hala bir şey eksik olduğunu düşünüyorsanız veya herhangi bir nokta hala net değilse, lütfen bana bildirin.

— Lagrenge,

Cevap potansiyel olarak faydalı görünüyor. Gazetenize bakmak için zamanım olmadı (birkaç hafta olabilir). Her şeyi anladığımı varsayarsak, cevabınızı kabul edeceğim nokta budur.

— DaftWullie