Tek bir kübiti temsil etmek için Bloch küresine alternatif

Tek bir qubit temsil etmek için, orhonormal tabanı olan Hilbert uzayında üniter bir vektör kullanıyoruz .Cı 2 ( | 0 ⟩ , | 1 ⟩ $|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Bir Bloch topu kullanarak | \ psi \ rangle çizebiliriz . Bununla birlikte, bu gösterimi oldukça kafa karıştırıcı buldum, çünkü ortogonal vektörler mekansal olarak karşıt paraleldir ( bu Fizik Stackexchange sorusunda kısa açıklama ).$|\psi\rangle$

Tek bir kübit için farklı bir grafik temsili biliyor musunuz?

Sorunuza dahil edilen bağlantıda, user098876, "Bloch küresini anlama" tarafından yazılan başka bir soru hakkında, Daniel yararlı bir yorum yapar:

"Kuantum iki seviyeli bir sistemin durumunu temsil etmek için küre üzerinde nokta çizmek, bu noktaları 3D uzayda gerçek vektörler olarak düşünmeniz gerektiği anlamına gelmez. - DanielSank 3 '15, 20:17".

Çok basitleştirilmiş açıklama: Bir küreye yansıtılan iki taraflı bir düzlemdir (veya iki düzlem).

"Bu gösterimi oldukça kafa karıştırıcı buldum, çünkü ortogonal vektörler uzamsal olarak karşıttır ( bu Fizik Stackexchange sorusundaki kısa açıklama ). Tek bir kübit için farklı grafik temsili biliyor musunuz?"

Kubitlerden quaditlere uzanan daha genel bir temsil sağlamak için bir takım çabalar sürüyor. Bir Majorana küresi kullanan bu açıklama ve temsil çok farklı değil , hala bir küre, ama belki de daha az kafa karıştırıcı:

Bir Majorana küresi üzerindeki kübitler için bkz. " N-kubit, Bloch küresinin üzerinde noktalar olarak görünür ".

"Özet. Majorana temsilinin bir N-kubit sisteminin saf durumlarını ifade etmek için nasıl kullanılabileceğini gösteriyoruz ... Sonuç olarak, Majorana gösterimi spin parçacıkları incelendiğinde yararlı olurken alternatif temsil, bir halleri -qubit sisteme tartışılmıştır. görselleştirmek için yardımcı yanısıra da yardım bazı özel tanımlamak için olabilir ikincisi temsil devletler ve onların rotasyonlar ve diğer operasyonlarda dönüşümü yolu, -qubit Majorana gösterimi yaptığımız gibi, eyaletleri -qubit spinör Bose-Einstein'ın yoğunlaşması. "N N $S$$N$$N$$N$

Bakınız: " Majorana temsili, qutrit Hilbert uzayı ve qutrit kapılarının NMR uygulaması ":

Sayfa 1:

"Bloch küresi, tek bir kübitin kuantum durumlarının (üç gerçek boyutta bir birim küre) üzerine, saf durumların yüzeye ve karışık durumların iç kısımda eşlenmesine sahip bir temsilini sağlar. Bu geometrik gösterim kuantum durumlarının ve bunların dönüşümlerinin, özellikle NMR-tabanlı kuantum hesaplama durumunda, spin-1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$mıknatıslanma ve NMR rf darbeleri yoluyla dönüşümü Bloch küresi üzerinde görselleştirilir. Daha yüksek seviyeli kuantum sistemleri için geometrik temsil için birkaç öneri vardır, ancak Bloch küre benzeri bir resmin daha yüksek dönüşlere uzatılması kolay değildir. Geometrik bir temsil Majorana tarafından önerildi, burada bir spin ' ' saf hali Majorana küresi olarak adlandırılan birim kürenin yüzeyinde '2 ' noktaları ile temsil edilir .$s$$_s$

için Majorana temsil sistemleri gibi temsil spin geometrik fazını belirlemek olarak yaygın kullanım bulmuştur ile spinörleri noktaları, çok QuBit geometrik temsil durumları, kaotik kuantum dinamik sistemlerin istatistik ve polarize ışığı karakterize dolaşmış. Tek bir qutrit (üç seviyeli kuantum sistemi), qudit tabanlı ( -seviyeli kuantum sistemi) kuantum hesaplama şemalarında özellikle önemlidir . Bir qutrit, kuantum hesaplama için bir kaynak olduğu düşünülen bağlamsallık gibi doğal kuantum özellikleri sergileyen en küçük sistemdir . NMR qudit kuantum hesaplama spin s> çekirdekler kullanılarak gerçekleştirilebilirN N d 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$veya iki veya daha fazla birleştirilmiş spin çekirdeği ile modellenebilir . Bu çalışmada, bir qutrit durumunun, qutrit durum uzayına ilişkin içgörü sağlamak için birim küredeki bir çift nokta ile temsil edildiği tek bir qutritin Majorana küre tanımını kullanıyoruz.$\frac{1}{2}$

Sayfa 5:

Tek bir qutritin saf bir topluluğundaki mıknatıslanma vektörünün büyüklüğü, aralığında değerler alabilir . Aksine, bir kübitin saf topluluğu daima kendisiyle ilişkili mıknatıslanma vektörünün birim büyüklüğüne sahiptir→ M | [ 0 , 1 $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . Tek qutrit manyetizasyon vektörünün geometrik resmi Majorana temsili ile sağlanır. Değeri açıortay uzunluğuna bağlıdır boyunca ve yalan→ M | O O ′ z | - → M | [ 0 , 1 $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-aksis ve rotasyonel olarak değişmez. Böylece, bisektörün uzunluğunun belirli bir değerine karşılık gelen, sürekli değişen yarıçaplı, yüzeyleri sabit mıknatıslanma yüzeyleri olan eşmerkezli küreler varsayılabilir. Bu kürelerin yarıçapları, aralığında değişen eşittir .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Sayfa 10:

SON SÖZLER

Bu çalışmada, bir qutritin geometrik bir temsili açıklanmıştır, burada qutrit durumları, Majorana temsiline göre birim küre üzerinde iki nokta ile temsil edilir. Tek parametreli kanonik durum familyasından dönüşümlerinin eylemi yoluyla keyfi durumlar oluşturmak için tek-qutrit durumlarının parametrelendirilmesi elde edildi . Spin- manyetizasyon vektörü Majorana küresi üzerinde temsil edildi ve haller, spin manyetizasyonunun sıfır veya sıfır olmayan değerine bağlı olarak 'işaret' veya 'işaretsiz' olarak tanımlandı. etkisi ile üretilen dönüşümler1 S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$jeneratörler de Majorana geometrik resmine entegre edildi. Kübitlerden farklı olarak, radyoaktif darbeler açısından tek-qutritli kuantum kapılarının ayrıştırılması kolay değildir ve Majorana küre temsili bu kapıları geometrik olarak tarif etmek için bir yol sağlar. Rf puls dekompozisyonlarını elde etmek için çeşitli kuantum kapılarının etkisi altında Majorana küresi üzerinde bir qutriti temsil eden noktaların dinamiklerinin yakın gözlemleri kullanılmıştır ve temel tek-qutrit kapıları NMR kullanılarak deneysel olarak uygulanmıştır.

İNCİR. 1. Majorana küresi üzerindeki bir qutrit, kürenin merkezine sırasıyla kırmızı ve mavi ile gösterilen çizgilerle bağlanan iki ve temsil edilir . , , noktasına karşılık gelen kutupsal ve azimutal ( , , noktası ). (a) Majorana polinomunun kökleri düzleminde , stereografik izdüşümü Majorana temsiline yol açan ve noktaları ile gösterilir. Tek-qutrit bazlı vektörlerin Majorana temsiline karşılık gelen üç örnek gösterilmiştir.P 2 θ 1 ϕ 1 P 1 θ 2 ϕ 2 P 2 z = 0 P ′ 1 P ′ 2 ( b $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$( c $(b)\;\vert+1\rangle$ , ve . Noktalardan biri düz (kırmızı) bir daire olarak gösterilirken, diğer nokta boş (mavi) bir daire ile temsil edilir.( d $(c)\;\vert0\rangle$$(d)\;\vert-1\rangle$

Bakınız: Wheeler (Web Sitesi) veya " Çok iğneli kuantum durumların Wigner tomografisi " : " Yüksek Sıkma Durumlarının Majorana Temsili " (.PDF) :

Tomografi kullanmak neye benziyor - "Bu yazıda, teorik olarak, rasgele multispin kuantum durumlarının küresel fonksiyonları için bir tomografi şeması geliştiriyoruz. )."

Bunu şu şekilde tasvir edilen Bloch küresinin karmaşıklığıyla karşılaştırın: " Üç köşeli geometrik fazların bloch küre temsili ". Şekil, kullanılan projeksiyonu nasıl görselleştirdiğinizle aynıdır.

İşte daha az meşgul bir resim:

Çok büyük bir kağıtla ikiye kesilmiş Bloch küresini düşünün. Kağıdın kenarında (sonsuz) sayfanın üstündeki herhangi bir nokta, topun tepesine (sayfanın alt kısmı için topun altı) (sonsuz) bir çizgi çizer. Kağıdın ortasına en yakın noktalar (karışık durumlar) kürenin merkezine çizgiler çizer. Bu, küçük bir top üzerinde sonsuzluğa kadar olan mesafeyi temsil eder, bir kübit / qudit sonludur, böylece kağıt çok büyük değildir.

Şimdi 2B kağıda noktalar çizin, kağıttan topa çizgiler çizin, kağıdı çıkarın ve çizginin diğer uç noktasını görmek için şeffaf topa bakın veya atın.

Yukarıdaki bağlantılarda çok daha doğru ve zor bir açıklama sunulmaktadır.

Cevaplarında @piramitlerin ilettiklerine ekleme :

Bir kübitin durumu genellikle olarak yazılır; burada ve .a , p ∈ Cı | α | 2 + | β | 2 = $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$ , gerçek sayılar alanı üzerinde dört boyutlu bir vektör uzayıdır. İtibaren herhangi bir boyutlu gerçek vektör uzayı izomorf$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$ , bir bir nokta olarak herhangi bir QuBit durumunu temsil edebilir olan taban vektörleri olabildiğince de boyutlu gerçek uzayda olarak kabul . Böyle bir durumda bir durumu .$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$

Diyelim ki (burada a , b ∈ R ) ve β = c + i d (burada c , d ∈ R ). Koşula ihtiyacınız var | a + i b | 2 + | c + i d | 2 = $\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$ QuBit durumunu ifade eder yerine getirilmesi için, bir üzerindeki bir nokta olacak3-küre.$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

Bildiğiniz gibi, bir kağıt veya ekran gibi 2 boyutlu bir yüzey üzerinde boyutlu bir alanı verimli bir şekilde temsil etmek zordur . Dolayısıyla, temsilin sıklıkla kullanıldığını görmezsiniz. Bloch küresi , bir kübitin durumu nedeniyle bir serbestlik derecesini (her biri iki serbestlik derecesine sahip karmaşık sayıların α , β her biri iki serbestlik derecesine sahiptir) azalttığı için hemen hemen en etkili temsilidir (tek bir kübit için). genellikle 1 büyüklüğüne normalleştirilir, yani | α | 2 + | β | 2 = $4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Şimdi, Hopf koordinatlarını kullanarak şunları söyleyelim:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Burada, 0 ila π arasında çalışabilirken , ψ ve ϕ + ψ 0 ila π arasında değerler alabilir .$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

Neden Eğer merak ediyorsanız yerine kullanılıyor İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin üzerinde cevaplara bir göz bu Fizik Stack Exchange'de mükemmel iplik.$\theta/2$$\theta$

Tamam, hatta şimdi özgürlük üç derecesini fark bir birim yarıçapları alanında oysa, yalnızca bir QuBit farklı durumlarını elde etmek değiştirebilir iki açıları var.$\psi,\phi,\theta$

nın a ve β arasındaki "bağıl faz" olduğuna dikkat edin . Öte yandan ψ α , β ' nın "nispi fazına" katkıda bulunmaz . Ayrıca, ne φ de ψ büyüklüğüne katkıda a , p (Beri | e i φ | = 1 herhangi bir açı için cp ). Yana ψ "nispi faz" ile ne de "büyüklükleri" için de katkıda a , β olduğu söylenir bir fiziksel gözlemlenebilir sonuçlarını$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ve biz yapabilirsiniz keyfi seçim faktörünü ortadan kaldırarak gerçek olması e i ψ .$\alpha$$e^{i\psi}$

Böylece:

ve β = E i φ sin ( θ / 2 ) θ çalıştırılabilir 0 için TT ve φ çalıştırılabilir 0 ile 2 tt .

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$

Matematiksel olarak, serbestlik derecelerini daha da azaltmak mümkün değildir ve bu nedenle, tek bir kubitin Bloch küresinden daha başka "daha verimli" geometrik temsili olmadığını söyleyebilirim.

_{Kaynak: Wikipedia: Bloch_Sphere}

Bloch küresi tarihsel olarak yukarı ve aşağı gerçekten (matematiksel olarak) dik değil (anti) paralel olarak görülebilen spinleri tanımlamak için ortaya çıktı.

Bir kübitin durumunu doğal olarak (ve belki de daha doğal olarak!) Dikgen durumların gerçekten dik olacak şekilde tasvir edebilirsiniz. Daha sonra saf bir 1-kubit durumu, 4 boyutlu bir kürenin yüzeyinde bir noktayı işgal eder.

(Öncelikle, "itibar puanları" gereksinimi aptalca - bu açıklama bir önceki gönderiye yorum olmalı.)

Saf bir durumdaki tek bir kübit, hem büyüklüğü hem de fazı (yani, karmaşık normalleştirme) bölümlere ayırdığınızda 3 değil 2 gerçek özgürlük derecesine sahiptir. Bu nedenle, en makul iki boyutlu yüzeyler kullanılabilir (örneğin, 2 küre veya topolojik olarak eşdeğer herhangi bir şey).

Yararlı bir temsil bulmak başka bir hikaye. Bloch küresi karışık durumlara (3 serbestlik derecesine sahip) doğal bir uzantısı vardır, aksi halde durum böyle görünmemektedir.