İlk Hamiltonyan'ın adyabatik kuantum hesaplamasında nihai Hamiltonian ile gidip gelmemesi neden önemlidir?

Ben birçok kaynak ve kitaplardan öğrendiğim adyabatik kuantum hesaplama bunun için son derece önemli olduğunu (AQC) başlangıçtaki hamiltonian ile gidip değil nihai Hamilton , yani . Ama neden bu kadar önemli olduğuna dair hiç bir argüman görmedim.$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Doğrusal zaman bağımlılığını varsayarsak, AQC'nin Hamiltonyanı burada adyabatik zaman ölçeğidir.

Öyleyse sorum şu: İlk Hamiltonyen'in son Hamiltonian ile gidip gelmemesi neden önemlidir?

Adyabatik QC'de, probleminizi bir Hamiltoniyen'de kodlarsınız, böylece sonucunuz zemin durumundan çıkarılabilir. Bu zemin durumunu doğrudan yapmak zordur, bu yüzden bunun yerine 'kolay' bir Hamiltonian'ın zemin durumunu hazırlarsınız ve sonra ikisi arasında yavaşça enterpolasyon yaparsınız. Yeterince yavaş giderseniz, sisteminizin durumu temel durumda kalacaktır. İşleminizin sonunda, çözüme sahip olursunuz.

Bu Adiabatic teoremine göre çalışır . Teoremin geçerli olması için, zemin durumu ile ilk heyecanlı durum arasında bir enerji boşluğu olmalıdır. Boşluk ne kadar küçük olursa, zemin durumu ile ilk uyarılmış durumlar arasında karışmayı önlemek için enterpolasyona yavaşlamanız gerekir. Boşluk kapanırsa, bu tür karıştırma önlenemez ve yeterince yavaş gidemezsiniz. Prosedür bu noktada başarısız olur.

İlk ve son Hamiltonian gidip gelirse, aynı enerji özdeğerlerine sahip oldukları anlamına gelir. Böylece hangi devletlerin enerji atandığına katılıyorlar ve sadece aldıkları enerjilere katılmıyorlar. İki Hamiltonyalı arasında enterpolasyon yapmak sadece enerjileri değiştirir. Bu nedenle nihai zemin durumu başlangıçta heyecanlı bir durum olacaktı ve orijinal zemin durumu sonunda heyecanlanacaktı. Bir noktada, birbirlerinden geçerken, bu devletlerin enerjileri eşit olacak ve böylece aralarındaki boşluk kapanacak. Bu, enerji açığının bir noktada kapanması gerektiğini görmek için yeterlidir.

Bu nedenle işe gidip gelmeyen Hamiltonlulara sahip olmak, boşluğu açık tutmak ve dolayısıyla AQC için gerekli bir koşuldur.

İki matris (bu durumda Hamiltonyalılar) işe giderse, aynı özvektörlere sahiptirler. Yani, ilk Hamiltoncuların temel halini hazırlarsanız, o zaman (kabaca konuşursak) tüm adyabatik evrim boyunca bir özdeyiş olarak kalacaktır ve böylece ne koyduğunuzu dışarı çıkarırsınız.

Biraz daha katı olmak istiyorsanız, ilk Hamiltonyanızın ikinci Hamiltonian tarafından kaldırılan bir dejenerasyona sahip olması ve sistemin benzersiz zemin haline gelmesini umuyor olabilirsiniz. Bununla birlikte, dejenerasyonun ikinci Hamiltonian'ın sıfır olmayan bir miktarı olduğu anda kaldırıldığına dikkat edin. Etkisi ne olursa olsun, anlık bir etkidir. Uygun adyabatik bir evrim bulamadığınıza inanıyorum. Bunun yerine, başlangıç ​​durumunuzu yeni eigenstatların bir süperpozisyonu olarak yazmanız gerekir ve bunlar zamanla gelişmeye başlar, ancak durumunuzun hedef durumla (zemin durumu) örtüşmesini asla artırmazsınız.

İsing optimizatörleri bağlamında, Hamiltonian sorunu ile yola çıkan Hamiltonian, aslında operatörlerinin ürünleri olduğu anlamına gelir; Bu nedenle başlangıçtaki temel durum ( t = 0) da klasik olacaktır, tüm olası bit dizilerinin üst üste binmesi değil.$\sigma^Z$$t$

Dahası, sürüş Hamiltonianı işe giderse AQC'nin (örneğin açık sistem kuantum tavlaması, QAOA vb.) Katı sınırlarının ötesine geçse bile, problem Hamilton'un problemleri arasında geçişler yaratamaz, ancak sadece dalga fonksiyonundaki genliklerin fazını değiştiremez. ; ve arama alanını keşfetmek için döndürme hareketlerini indükleyebilen bir sürücü istiyorsunuz.

Basit bir örnekle başlayalım nerede ve H f gidip ikisi de diyagonal çünkü:$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Bu Denk. 2 Tanburn ve diğ. (2015) .

• $\epsilon = 0.1$
• göre olduğuna dikkat edin . Aynı makalenin 4'ü.$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• O Bildirimi (benim seçimim böyle olacağını, böylece, ancak önemli değil).$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• Artık$\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

Yani olduğunda$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Bu yüzden adyabatik teorem hala geçerlidir, ancak Hamiltonyenlerin "yeterince yavaş" değişmesi gerektiğini ifade ettiğinde, "sonsuz yavaş" değiştirmesi gerektiği anlamına gelir, bu da AQC'yi kullanarak cevabı muhtemelen alamayacağınız anlamına gelir.