Grover'ın Arama Algoritması hangi uygulamalara sahiptir?

Grover'ın Arama algoritması genellikle sıralanmamış bir veritabanında işaretli bir giriş bulma konusunda konuşulur. Bu, NP problemlerine (iyi bir çözümün kolayca tanınabildiği) çözüm aramak için doğrudan uygulanmasına izin veren doğal bir biçimciliktir.

Ben öğrenmek isteyen ortalama ve sayı kümesinin medyan minimum bulma Grover arama'sından diğer uygulamalar hakkında. Bu, Grover'ın araştırmasının (veya genlik amplifikasyonu gibi genellemelerinin uygulamaları) daha önce bilinen başka daha az belirgin uygulamaları olup olmadığını merak ediyor mu? Bunun nasıl yapıldığına dair herhangi bir kısa bilgi takdir edilecektir.

Bahsettiklerinizin dışında, farkında olduğum (değiştirilmiş) Grover algoritmasının başka bir uygulaması, karmaşıklık teorisi, kuantum hesaplama ve hesaplama matematiğinde Çarpışma problemini çözmek . Buna BHT algoritması da denir .

Giriş :

Çarpışma sorunu çoğunlukla Scott Aaronson tarafından doktora tezinde açıklanan 2'ye 1 versiyonuna atıfta bulunur . Göz önüne alındığında bile ve bir fonksiyon f : { 1 , . . . , N } → { 1 , . . . , n } önceden f'nin 1'e 1 veya 2'ye 1 olduğunu biliyoruz . Herhangi bir i ∈ { 1 , 2 , için yalnızca f ( i ) değeri hakkında sorgulama yapmamıza izin verilir.$n$$f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$$f$$f(i)$ . Sorun daha sonra f'nin 1'e 1 veya 2'ye 1olup olmadığını kesin olarak belirlemek için kaç sorgu yapmamız gerektiğini sorar.$i\in\{1,2,...,n\}$$f$

2'den 1'e sürümünü kararlı bir şekilde çözmek için sorgusu gerekir ve genel olarak r-1 işlevlerini 1'e 1 işlevlerinden ayırmak için n / r + 1 sorguları gerekir.$n/2+1$$n/r+1$

Deterministik klasik çözüm :

Bu, güvercin deliği prensibinin basit bir uygulamasıdır: eğer bir fonksiyon r-1'e ise, sorgularından sonra bir çarpışma bulmamız garanti edilir. Bir işlev 1'e 1 ise, çarpışma olmaz. Şanssızsak, n / r sorguları farklı yanıtlar verebilir. Bu yüzden n / r + 1 sorguları gereklidir.$n/r+1$$n/r$$n/r+1$

Rasgele klasik çözüm :

Rasgeleliğe izin verirsek, sorun daha kolaydır. Doğum günü paradoks olarak, eğer biz (ayrı) sorguları rastgele sonra yüksek olasılıkla biz sonra herhangi sabit 2-to-1 fonksiyonunda bir çarpışma bulmak seçim sorgular.$\Theta(\sqrt{n})$

Kuantum BHT çözümü :

Sezgisel olarak, algoritma (klasik) rasgelelik kullanarak doğum günü paradoksundan karekök hızlandırmasını Grover'ın (kuantum) algoritmasından kare kök hızlandırması ile birleştirir.

$n^{1/3}$$f$$f$$f$$f$$n^{2/3}$$f$$\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$$f$

Kaynaklar:

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Collision_problem

2. https://en.wikipedia.org/wiki/BHT_algorithm

3. Çarpışma Sorunu için Kuantum Algoritması - Gilles Brassard, Peter Hoyer, Alain Tapp

Grover'ın algoritması kuantum kriptografisinde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Transandantal Logaritma Sorunu, Polinom Kök Bulma Sorunu vb.Gibi problemleri çözmek için kullanılabilir.

$M$$M$

Aslında, Grover'ın algoritması, klasik bir algoritmaya kaba kuvvetli aramadan daha akıllıca uygun olan çok fazla yapıya sahip olmayan birçok zor optimizasyon problemi için (NP-komple olanlar gibi) en iyi bilinen kuantum algoritmasıdır: https: // link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67 .