Kuantum kapıları neden üniterdir, özel üniter değildir?

Devletlerin küresel aşamalarının fiziksel olarak ayırt edilemediği düşünüldüğünde, kuantum devreleri neden özel üniteler değil, tek yönlü olarak ifade ediliyor? Aldığım bir cevap, sadece kolaylık olmasıydı ama hala emin değilim.

İlgili bir soru şudur: üniter (matematiksel matris) ve fiziksel uygulamasında , örneğin bazı temel kapılar açısından herhangi bir fark var mı? Varsayalım (ki bu benim anlayışım). Daha sonra ve fiziksel uygulaması aynı olmalıdır (sadece temel kapılara kontroller ekleyin). Ama sonra bu iki üniteden ve faza (matematiksel matris olarak) eşdeğer olmayabileceği çelişkisine giriyorum, bu yüzden farklı fiziksel uygulamalara karşılık geldikleri makul görünüyor .V : = e i α U c - U c - V c - U c - $U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

Buradaki akıl yürütmemde neyi yanlış yaptım, çünkü şimdi ve faza eşdeğer olmalarına rağmen farklı şekilde uygulanması gerektiğini gösteriyor ?$U$$V$

Başka bir ilgili soru (aslında karışıklığımın kaynağı, buna bir cevap için ekstra minnettar olurum): karmaşık örtüşme hem modülünü hem de fazını tahmin etmek için bir kuantum devresi kullanabilir gibi görünüyor (bkz. Https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Ancak bu, ve ölçülebilir derecede farklı olduğu anlamına gelmez mi?$\langle\psi|U|\psi\rangle$e i α$U$$e^{i\alpha}U$

Kendinizi sadece özel üniter operasyonlarla sınırlasanız bile, devletler küresel fazı biriktirecektir. Örneğin, özel üniter ancak . Z ⋅ | 0 ⟩ = i | 0 ⟩ ≠ | 0 $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Devletler gözlemlenemeyen küresel faz birikir yapacaksanız neyse , biz özel üniter operasyonları kendimizi sınırlayan ne faydası çıkacağız?

üniter (matematiksel matris) ve fiziksel uygulamasında bazı temel kapılar açısından farklılıklar var mı?V : = e i α$U$$V :=e^{i\alpha}U$

Küresel aşamaları alakalı kılabilecek hiçbir şey yapmadığınız sürece, aynı uygulamaya sahip olabilirler. Ama eğer böyle bir şey yapacaksan, ah-

temel kapılara kontroller eklemek

Evet onun gibi. Böyle şeyler yaparsanız, küresel aşamaları görmezden gelemezsiniz. Kontroller küresel aşamaları göreli aşamalara dönüştürür. Global fazı tamamen yok saymak istiyorsanız, kara kutu "kontrol ekle" işlem değiştiriciniz olamaz.

Kuantum kapılarının üniter olması, (kapalı) kuantum sistemlerinin evriminin Schrödiner denkleminden kaynaklanmasıdır. Sabit bir oranda belirli bir birimsel dönüşüm gerçekleştirmeye çalıştığımız bir zaman aralığı için, zamandan bağımsız Schrödinger denklemini kullanıyoruz:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

burada , sistemin Hamiltonyanıdır: özdeğerleri enerji özdeğerlerini tanımlayan bir Hermitian matrisi. Özellikle, öz değerleri gerçektir. Bu denklemin çözümü$H$$H$

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ burada olan matris olan Eğer vektörlerini alarak elde bunların özdeğerler ve değiştirilmesi sahip . Böylece, gerçek özdeğerleri olan bir matristen, özdeğerleri birim normlu karmaşık sayılar olan bir matris elde ederiz.$U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$

Bu evrimin özel olarak özel bir birimsel matris olması ne gerektirir? Özel bir birimsel matris, belirleyicisi kesin olarak olan matrikstir ; yani, özdeğerlerinin tümü çarpılır . Bu, öz değerlerinin sıfıra toplandığı kısıtlamaya karşılık gelir . Bundan başka, özdeğer çünkü enerji seviyeleri, ister$1$$1$$H$$H$özdeğerlerinin toplamı sıfıra eşittir, sıfır enerji noktanızın ne olduğunu sabitlemeye nasıl karar verdiğinize bağlıdır - bu aslında referans çerçevenin öznel bir seçimidir. (Özellikle, tüm enerji seviyelerinizin negatif olmadığı kuralını benimsemeye karar verirseniz, bu, hiçbir ilginç sistemin enerji özdeğerlerinin sıfıra toplanan özelliğine sahip olmayacağı anlamına gelir.)

Kısacası, kapılar özel üniterden ziyade üniterdir, çünkü bir kapının belirleyicisi fiziksel olarak anlamlı özelliklere karşılık gelmez - açık anlamda kapının fizikten ve kapının belirleyicisine karşılık gelen koşullar 1 fiziksel dinamikleri değil, kendi referans çerçevesinin bir koşulu.

Kapıları yazarken, örneğin, bir kuantum devre şeması, sen verebilir daima (özel üniter grubundan) belirleyici bir sahip kuralını kullanarak bunları yazmak, ama sadece bir kongre bu. Uyguladığınız devre için fiziksel bir fark oluşturmaz. Başka yerde söylendiği gibi , doğal olarak ürettiğiniz şeyin doğrudan özel üniteye karşılık gelip gelmediği gerçekten bir kongre seçimi ve 0 enerjinizi nerede tanımladığınızdır.

Kontrollü- uygulamaya başladığınız zaman , ilginç bir karşılaştırma yapılacak. Diyelim ki . Kontrollü kontrollü açısından nasıl uygulayabiliriz ? Kontrollü uygular ve ardından kontrol kubitinde, faz kapısını uygularsınız . Burada gözlemlenmesi gereken iki şey var. İlk olarak, fark hedef kubit yerine kontrol kübitinde. uygulamasını uyguladığınız hedef kübitV = e i α V U U ( 1 0 0 e i α ) U ( e - i α / 2 0 0 e i α / 2$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$, fazdaki farkı gerçekten umursamıyor. Faz kapısının çarptığı kontrol-kübit. İkincisi, faz kapısını özel üniter olarak yazmadım. Tabii ki, ama yazmadım çünkü yazmayı seçtiğim şekil daha uygun - benim için daha az yazı ve umarım neden işe yaradığını daha çabuk belli ediyordu.$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

Basit ve basit cevap: Dekorerans olmadığında durum vektörleri,Hamiltonianiçin. Bu bir "kapı" nın yaptığı şeydir. Hamiltonlular Hermitiyen olmalı, bu yüzden bu dönüşüm üniter. Hamiltonyalıların 0'a eşit özdeğerlere sahip olmaları gerekmez, bu nedenle dönüşümün özel üniter olması gerekmez.$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$