Belirli bir üniterere karşılık gelen en kısa evrensel kuantum kapıları dizisi

Soru: kubit üzerine etki eden üniter bir matris verildiğinde , o ünitere karşılık gelen en kısa Clifford + T geçitlerini bulabilir miyiz?$n$

Sorunun arka planı için iki önemli referans:

1. Kliuchnikov, Maslov ve Mosca tarafından Clifford ve T geçitleri tarafından üretilen tek kübit ünitelerin hızlı ve verimli tam sentezi
2. Giles ve Selinger tarafından multiqubit Clifford + T devrelerinin tam sentezi .

Optimal bir ayrışma elde etmek kesinlikle açık bir sorundur. (Ve elbette, ayrışma inatçıdır, büyük için kapıları .) Önce sorabileceğiniz "daha basit" bir soru, herhangi bir açıdan en kısa cnot ve tek kubit rotasyon sırası nedir (IBM , Rigetti ve yakında Google şu anda teklif veriyor, bu evrensel kapı temeli Cliffords ve t-gates temeli olarak ifade edilebilir). Bu "daha basit" soru da açıktır ve benzersiz olmayan bir cevabı vardır. İlgili bir soru, zemin durumundan belirli bir nihai duruma geçmek için kapıların evrensel bir temelden tam olarak optimum ayrışmasının ne olduğudur.$\exp(n)$$n$

Kesin ayrışmalardan söz ettiğinizi varsayıyorum. Yaklaşık ayrışma istiyorsanız, bunun için Trotter-Suzuki ayrışması veya tam bir ayrışmaya yaklaşmak gibi farklı yöntemler vardır.

Qubiter'deki "kuantum csd derleyicisi", LAPACK'in ünlü csd (Kosinüs-Sinüs Ayrışması) alt rutini kullanılarak herhangi bir n-kübit biriminin düğümlere ve tek kubit çürüklerine optimize edilmemiş bir ayrışmasını yapar. Bazı girişimci kişiler, Qubiter'in kuantum derleyicisi için optimizasyonlar bulmaya çalışabilir. Örneğin, klasik bilgisayarınızın Coppersmith'in kuantum Fourier Dönüşümü ayrışmasını yeniden keşfetmesine izin vermek için Qubiter'in derleyicisini kullanabilirsiniz (bunun üzerine bir kağıt yazdım)!

Qubiter açık kaynaklıdır ve github'da mevcuttur (tam açıklama - yazdım).

Sağladığınız üniter (girişler üzerindeki teorik kısıtlama sayısı) için kesin bir sentezin mümkün olduğunu ve bu nedenle soruda açıklanan algoritmaların size bu üniteyi uygulayan bir dizi Clifford + T geçidi verdiğini varsayalım. Giles-Selinger gazetesinde belirtildiği gibi, optimalden çok uzak bir dizi elde edersiniz. Bu noktada, Clifford + T geçit seti tarafından üretilen gruptaki kelime problemine indirgendiniz. Bazı gruplarda, belirli bir kelimeyi kısaltmak için algoritmalar bulunurken, grubun aynı elemanını o sınıf içindeki en kısa normal formda temsil eder. Diğerleri değil.

Prensibi göstermek için daha fazla detay: Diyelim ki kubit var. Göstermek vb QuBit faz kapı yapar jeneratör , için vs. Bunların her biri bir kontrol bir harf olarak kabul edilir edilir. Algoritma, bu jeneratörlerde bir şeyler söyleyecektir. Grubu gibi, bu jeneratör ve bir çok ilişkilerle grubudur ve$2$$S_1$$1$$CNOT_{12}$$1$$S_i^4=1$$X_i Y_j = Y_j X_i$$i \neq j$diğer birçok ilişki arasında. Yani bu, sonlu bir şekilde oluşturulmuş bir grubu tanımlar. Sağlanan algoritmalardan bir kelimemiz olduğundan, ancak optimize edilmediğinden, görev, bu grup için kelime probleminde mümkün olan en kısa normal formu sağlamaktır. Yani eğer sözcük verilen bir ilişki kullanabilirsiniz iki kez ve almak için bir kez ilişki Aynı grup elemanını temsil eden bir kısa kelime olarak. Belirli bir grup sunumu için, keyfi bir kelime alan ve onu azaltan bir algoritma ister. Genel olarak bu mümkün değildir.$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$$S_1 S_2 = S_2 S_1$$S_1^4=1$$S_2$

Aşağıdakiler için feragatname: Gelecek proje / Jon Aytac ile Haskell uygulama ortak.

Clifford + T kapısı seti için problemin çözülebilirliğini bilmiyorum, ancak bu setteki sadece (onları ) ve sadece formun ilişkileriyle daha basit bir şey yapabilirim . Bu, Clifford + T geçit seti ile ilgili, ancak etkili bir şekilde çözülebilir bir kelime problemi olan bir Coxeter grubudur. Yani Giles-Selinger algoritmasının sonucunu alabilir ve sadece bu çok basit ilişkileri kullanarak potansiyel olarak kısaltabilir (sadece bu giriş harfleriyle segmentlere baktıktan sonra). Aslında, belirli bir üniter alan ve onu Clifford + T'ye yaklaştıran veya tam olarak sentezleyen herhangi bir algoritma, potansiyel olarak hafifçe kısaltmak için bu prosedüre beslenebilir.$r_i$$(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$