Jones Polinomu

Deutsch algoritması Simon'un probleminden, Grover'ın araştırmasından, Shor'un algoritmasından vb.Gibi çok benzer bir çerçevede anlaşılabilecek oldukça standart kuantum algoritmaları vardır.

Tamamen farklı gibi görünen bir algoritma Jones Polinomunu değerlendirme algoritmasıdır . Dahası, bunun bir BQP-tam problemi olduğunu anlamak için çok önemli bir algoritma gibi görünüyor : bir kuantum bilgisayarın tam gücünü sergiliyor. Ayrıca, sorunun bir çeşidi için, DQC-1 tamamlandı , yani bir temiz kübitin tam gücünü sergiliyor .

Jones Polinom algoritması kağıt diğer kuantum algoritmaları için çok farklı bir şekilde algoritma sunar. Algoritmayı anlayabildiğim daha benzer / tanıdık bir yol var mı (özellikle, DQC-1 varyantıdaki üniter veya BQP-tam varyantındaki tüm devre)?$U$

Bu cevap aşağı yukarı bağlandığınız Aharonov-Jones-Landau belgesinin bir özeti, ancak kaldırılan algoritmayı tanımlamakla doğrudan ilgili olmayan her şey. Umarım bu faydalıdır.

Aharonov Jones-Landau algoritması, bir örgü bir parsel kapağın Jones polinom yaklaşan bir de k (bazı yeniden ölçeklendirme) belirli bir üniter matris bir matris unsuru olarak gerçekleştirerek birlik inci kök U σ , görüntü σ örgü grubu belirli bir üniter gösterimi altında oda 2 n . Bir kuantum devresi olarak U σ uygulaması göz önüne alındığında , matris elemanlarına yaklaşmak Hadamard testi kullanılarak doğrudan yapılır . Önemsiz kısım, kuantum devresi olarak U σ'ya yaklaşmaktadır .$\sigma$$k$$U_\sigma$$\sigma$$B_{2n}$$U_\sigma$$U_\sigma$

Eğer bir örgü üzerinde 2 N ile şeritlerin m geçişleri, yazabiliriz σ = σ s 1 , bir 1 σ s 2 , bir 2 ⋯ σ s m bir m , burada bir 1 , bir 2 , ... , bir m ∈ { 1 , 2 , … , 2 n - 1 } , ϵ 1 , ϵ 2$\sigma$$2n$$m$$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$$a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ ve σ i , i 2. ipin ( i + 1 ) stüzerindengeçmesine karşılık gelen B 2 n'nin jeneratörüdür. U σ i'yi tanımlamak yeterlidir, çünkü U σ = U ϵ 1 σ a 1 ⋯ U ϵ m σ a m .$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$$\sigma_i$$B_{2n}$$i$$(i + 1)$$U_{\sigma_i}$$U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Tanımlamak için , önce standart olarak belirli bir alt kümesini elde C 2 2 N üzerinde u σ i nontrivially hareket eder. İçin ψ = | b 1 b 2 ⋯ b 2 N ⟩ , izin ℓ i ' ( ψ ) = 1 + Σ i ' j = 1 ( - 1 ) 1 - b j . Haydi $U_{\sigma_i}$$\mathbb{C}^{2^{2n}}$$U_{\sigma_i}$$\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$$\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$$\psi$ tüm i ′ ∈ { 1 , 2 , … , 2 n } için ise kabul edilebilir . (Bu, ψ , AJL kağıdında tanımlanan G k grafiğinde 2 n uzunluktaki bir yolu açıklamaya karşılık gelir .) 1 ≤ r ≤ ise λ r = { sin ( π r / k ) $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$$i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$$\psi$$2n$$G_k$LetA=iE-πi/2k(bu AJL yazıda yanlış yazmış olduğu; ayrıca buradan başka dikkat,ben=

$$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$$ $A = ie^{-\pi i/2k}$ ,i)endeksi değildir. Yazψ=| ψibib ı + 1 ⋯⟩, buradaψiilki-1bitψve izinzi=ℓ i - 1 (ψi). Sonra U σ i ( | ψ i 00 ⋯ ⟩ $i = \sqrt{-1}$$i$$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$$\psi_i$$i - 1$$\psi$$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$ Biz tanımlayanU σ i (ψ)=ψolmayan kabul edilebilir baz elemanları içinψ. $$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$$ $U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$$\psi$

$U_{\sigma_i}$$n$$k$$U_{\sigma_i}$$i - 1$$z_i$$z_i$$k$$U_{\sigma_i}$$U_{\sigma_i}$$1 \leq z_i \leq k - 1$

Özetlemek gerekirse:

1. $\sigma \in B_{2n}$$m$
2. $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
3. $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$$U_{\sigma_{a_i}}$$\epsilon_i = -1$
4. $U_{\sigma}$
5. $\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
6. $\sigma$$e^{2\pi i/k}$

Soruda beş makaleden bahsettiniz, ancak sözü edilmeyen bir makale 2009'daki deneysel uygulama . Burada bir Jones polinomunu değerlendirmek için kullanılan gerçek devreyi bulacaksınız:

Jones polinomuna ve DQC-1'e ilgi 2009'dan beri biraz azaldığı için, algoritmanın "daha tanıdık" bir sunumuna en yakın olan bu olabilir.

Bu deney hakkında daha fazla ayrıntı Gina Passante'nin tezinde bulunabilir .