Yoğunluk matrislerinin arkasındaki motivasyon nedir? Saf durumların yoğunluk matrisleri ile karışık durumların yoğunluk matrisleri arasındaki fark nedir?

^{Bu, saf ve karışık bir kuantum durumu arasındaki fark nedir? & Bir kübit yoğunluk matrisi nasıl bulunur? Alternatif cevaplar yazabilirsiniz.}

Motivasyon

Yoğunluk matrislerinin arkasındaki motivasyon, belirli bir kuantum sisteminin durumu hakkında bilgi eksikliğini temsil etmek, bu sistemin tek bir tanımında kapsüllenerek, sistem hakkında bildiklerimiz göz önüne alındığında, ölçüm sonuçlarının tüm olası sonuçlarıdır. Yoğunluk matrisi temsili, küresel aşamalarla ilişkili tüm sorunlardan kurtulmanın avantajına sahiptir, çünkü

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$ Bilgi eksikliği çeşitli şekillerde ortaya çıkabilir:

• Sübjektif bir bilgi eksikliği - bir hakem sizin için bir dizi devletten birini hazırlar $\{|\phi_i\rangle\}$ olasılıkla $p_i$, ama hangisini bilmiyorsun. Hangisini bilseler bile$|\phi_j\rangle$ hazırlandılar, siz yapmadığınız için, olası devletler kümesi ve bunlara karşılık gelen olasılıklar hakkında bildiklerinize dayanarak tanımlamanız gerekir, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$.

• Nesnel bir bilgi eksikliği - kuantum sistemi daha büyük bir dolaşmış durumun parçasıysa, sistemi saf bir durum olarak tanımlamak imkansızdır, ancak ölçümlerin tüm olası sonuçları tarafından elde edilen yoğunluk matrisi ile tanımlanır. $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$.

Bununla birlikte, ilginç bilgi eksikliğinin öznel hale gelmesi ilginçtir - ikinci bir taraf, dolaşmış devletin geri kalanında operasyonlar gerçekleştirebilir. Ölçüm sonuçlarını vb. Bilebilirler, ancak bunları geçmezlerse, orijinal kuantum sistemini tutan kişinin yeni bir bilgisi yoktur ve bu nedenle sistemlerini daha önce olduğu gibi aynı yoğunluk matrisini kullanarak açıklar, ancak şimdi öznel bir açıklamadır. .

Yoğunluk matrisini temsil etmek için belirli bir yol seçmenin, örneğin, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$, çok öznel bir seçimdir. Belirli bir hazırlık prosedürü ile motive edilebilir, ancak matematiksel olarak aynı matrisi veren herhangi bir açıklama eşdeğerdir. Örneğin, tek bir kübitte,$\rho=\frac12\mathbb{I}$maksimum karışık durum olarak bilinir. Bir bazın bütünlük ilişkisi nedeniyle, bu, herhangi bir 1-qubit temeli kullanılarak 50:50 karışım veya iki dikey durum olarak temsil edilebilir .

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

Saf ve Karışık Durumlar

Saf bir durumun yoğunluk matrisi ile karışık bir durum arasındaki fark basittir - saf durum, formda yazılabilen özel bir durumdur $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$, karışık bir durum bu biçimde yazılamaz. Matematiksel olarak, bu, saf bir durumun yoğunluk matrisinin 1, karışık bir durumun 1'den büyük olduğu anlamına gelir.$\text{Tr}(\rho^2)$: $\text{Tr}(\rho^2)=1$saf bir durumu ima eder, aksi takdirde karışıktır. Bunu görmek için şunu hatırlayın$\text{Tr}(\rho)=1$yani tüm özdeğerler 1'dir. Ayrıca, $\rho$pozitif yarı tanımlıdır, bu nedenle tüm özdeğerler gerçek ve negatif değildir. Yani, eğer$\rho$ rütbe 1 ise, özdeğerler $(1,0,0,\ldots ,0)$, ve bunların toplam karesi açıkça 1'dir. 1'e eşit olan diğer negatif olmayan sayılar kümesinin toplam karesi 1'den küçük olmalıdır.

Saf durum, sistemin mükemmel bilgisine karşılık gelir, ancak kuantum mekaniği hakkında eğlenceli olan nokta, bunun olası ölçüm sonuçları hakkında tam bilgi anlamına gelmemesidir. Karma durumlar, ister hazırlık bilgisi ister daha büyük bir Hilbert alanı bilgisi olsun, bazı kusurlu bilgileri temsil eder.

Karışık durum açıklamasının çok daha zengin olduğu, tek bir kubit üzerindeki Bloch küre resminden görülebilir: saf haller, kürenin yüzeyinde yer alırken, karışık haller, hacim içinde bulunanlardır. Parametre sayma açısından, iki parametre yerine üç tane, Bloch vektörünün uzunluğuna karşılık gelen ekstra bir tane gerekir.

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ nerede $\underline{n}$ 3 elemanlı bir birim vektördür, $\underline{\sigma}$ Pauli matrislerinin bir vektörüdür ve $r=1$ saf bir devlet için ve $0\leq r<1$ karışık bir durum için.

Yoğunluk matrislerinin arkasındaki motivasyon ^[1] :

Kuantum mekaniğinde, bir kuantum sisteminin durumu, belirtilen bir vektörle temsil edilir. $|\psi\rangle$(ve telaffuz edilen ket ). Durum vektörüne sahip bir kuantum sistemi$|\psi\rangle$saf duruma denir . Bununla birlikte, bir sistemin farklı durum vektörlerinin istatistiksel bir topluluğu içinde olması da mümkündür . Örneğin, bir$50\%$ durum vektörünün olma olasılığı $|\psi_1\rangle$ ve bir $50\%$ durum vektörünün $|\psi_2\rangle$. Bu sistem karışık durumda olacaktır . Yoğunluk matrisi özellikle karışık durumlar için yararlıdır, çünkü saf veya karışık herhangi bir durum, tek bir yoğunluk matrisi ile karakterize edilebilir. Karışık bir durum kuantum süperpozisyonundan farklıdır. Bir kuantum süperpozisyonundaki kuantum olasılıklarının aksine, karışık bir durumdaki olasılıklar klasik olasılıklardır (klasik olasılık teorisinde / istatistiklerinde öğrenilen olasılıklarda olduğu gibi). Aslında, saf durumların kuantum süperpozisyonu, başka bir saf durumdur, örneğin,$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$. Bu durumda, katsayılar$\frac{1}{\sqrt {2}}$ olasılık değil, olasılık büyüklükleridir.

Örnek: ışık polarizasyonu

Saf ve karışık durumların bir örneği hafif polarizasyondur. Fotonlar iki dik kuantum durumuna karşılık gelen iki helisiteye sahip olabilir ,$|R\rangle$(sağ dairesel polarizasyon ) ve$|L\rangle$(sol dairesel polarizasyon ). Bir foton, üst üste bindirme durumunda da olabilir.$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$(dikey polarizasyon) veya $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$(yatay polarizasyon). Daha genel olarak, herhangi bir durumda olabilir$\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (ile $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$) doğrusal , dairesel veya eliptik polarizasyona karşılık gelir . Geçersek$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$Bir boyunca ışık polarize dairesel polarize ya sadece sağlar$|R\rangle$ polarize ışık veya sadece $|L\rangle$polarize ışık, her iki durumda da yoğunluk yarı yarıya azalır. Bu fotonların yarısı durumdaymış gibi görünebilir$|R\rangle$ ve diğeri eyalette $|L\rangle$. Ama bu doğru değil: Her ikisi de$|R\rangle$ ve $|L\rangle$kısmen dikey bir doğrusal polarizör tarafından emilir , ancak$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ ışık, hiçbir polarizasyon olmadan bu polarizörden geçecektir.

Bununla birlikte, akkor ampulden gelen ışık gibi dengesiz ışık , herhangi bir durumdan farklıdır.$\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$(doğrusal, dairesel veya eliptik polarizasyon). Doğrusal veya eliptik olarak polarize edilmiş ışığın aksine, polarizörden geçer.$50\%$polarizörün yönü ne olursa olsun yoğunluk kaybı; ve dairesel olarak polarize edilmiş ışığın aksine, herhangi bir dalga plakası ile doğrusal olarak polarize edilemez, çünkü rastgele yönlendirilmiş polarizasyon rastgele yönlendirmeli bir dalga plakasından ortaya çıkacaktır. Aslında, polarize olmayan ışık herhangi bir şekilde tanımlanamaz formun durumu$\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ in a definite sense. However, unpolarized light can be described with ensemble averages, e.g. that each photon is either $|R\rangle$ with $50\%$ probability or $|L\rangle$ with $50\%$ probability. The same behaviour would occur if each photon was either vertically polarized with $50\%$ probability or horizontally polarized with $50\%$ olasılık.

Bu nedenle, polarize olmayan ışık herhangi bir saf durum tarafından tanımlanamaz, ancak istatistiksel bir topluluk olarak tanımlanabilir of pure states in at least two ways (the ensemble of half left and half right circularly polarized, or the ensemble of half vertically and half horizontally linearly polarized). These two ensembles are completely indistinguishable experimentally, and therefore they are considered the same mixed state. One of the advantages of the density matrix is that there is just one density matrix for each mixed state, whereas there are many statistical ensembles of pure states for each mixed state. Nevertheless, the density matrix contains all the information necessary to calculate any measurable property of the mixed state.

Karışık devletler nereden geliyor? Buna cevap vermek için, polarize olmayan ışığın nasıl üretileceğini düşünün. Bir yol, termal dengede , her biri belirli bir olasılığa ( Boltzmann faktörü ) sahip, termal dalgalanmalar nedeniyle hızla birinden diğerine geçiş yapan çok sayıda mikro- devletin istatistiksel bir karışımı olan bir sistem kullanmaktır . Termal rastgelelik, akkor bir ampulün neden polarize olmayan ışık yaydığını açıklar . Dengesiz ışık üretmenin ikinci bir yolu, örneğin bir çift ​​kırıcı kristalden geçirilmesi gibi sistemin hazırlanmasında belirsizlik sağlamaktır. with a rough surface, so that slightly different parts of the beam acquire different polarizations. A third way to generate unpolarized light uses an EPR setup: A radioactive decay can emit two photons travelling in opposite directions, in the quantum state $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$. The two photons together are in a pure state, but if you only look at one of the photons and ignore the other, the photon behaves just like unpolarized light.

More generally, mixed states commonly arise from a statistical mixture of the starting state (such as in thermal equilibrium), from uncertainty in the preparation procedure (such as slightly different paths that a photon can travel), or from looking at a subsystem entangled with something else.

Obtaining the density matrix^[2]:

Daha önce de belirtildiği gibi, bir sistem farklı durum vektörlerinin istatistiksel bir topluluğu içinde olabilir. Olduğunu söyle$p_1$ durum vektörünün olma olasılığı $|\psi_1\rangle$ ve $p_2$ durum vektörünün olma olasılığı $|\psi_2\rangle$ hazırlanmakta olan her bir devletin karşılık gelen klasik olasılıklarıdır.

Diyelim ki şimdi bir operatörün beklenti değerini bulmak istiyoruz$\hat{O}$. Aşağıdaki gibi verilir:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

Bunu not et $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ ve $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$skalerdir ve skaler izleri de skalerdir. Böylece, yukarıdaki ifadeyi şöyle yazabiliriz:

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

Now, using the cyclic invariance and linearity properties of the trace:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

where $\rho$ is what we call the density matrix. The density operator contains all the information needed to calculate an expectation value for the experiment.

Thus, basically the density matrix $\rho$ is

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$ in this case.

You can obviously extrapolate this logic for when more than just two state vectors are possible for a system, with different probabilities.

Calculating the density matrix:

Let's take an example, as follows.

In the above image, the incandescent light bulb $1$ emits completely random polarized photons $2$ with mixed state density matrix.

As mentioned before, an unpolarized light can be explained with an ensemble average i.e. say each photon is either $|R\rangle$ or $|L\rangle$ with $50%$ probability for each. Another possible ensemble average is: each photon is either $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ with $50\%$ probability for each. There are lots of other possibilities too. Try to come up with some yourself. The point to note is that the density matrix for all these possible ensembles will be exactly the same. And this is exactly the reason why density matrix decomposition into pure states is not unique. Let's check:

Case 1: $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

Now, in the basis $\{|R\rangle, |L\rangle\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

Case 2: $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ Thus, we can clearly see that we get the same density matrices in both case 1 and case 2.

However, after passing through the vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

The single qubit case:

If your system contains just a single qubit and you're know that its state $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ (where $|\alpha|^2+|\beta|^2$) then you are already sure that the 1-qubit system has the state $|\psi\rangle$ with probability $1$!

In this case, the density matrix will simply be:

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$,

the density matrix will simply be:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$. This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$.
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

---

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Resim Kredileri :

Kullanıcı Kaidor üzerinde Wikimedia