Adyabatik kuantum hesaplama Grover'ın algoritmasından daha hızlı olabilir mi?

Adyabatik kuantum hesaplamanın "standart" veya kapı modeli kuantum hesaplamaya eşdeğer olduğu kanıtlanmıştır. Bununla birlikte, adyabatik hesaplama, hedefin sorunla ilgili bir şekilde bir işlevi en aza indirgemek (veya en üst düzeye çıkarmak) - yani bu işlevi en aza indiren (veya en üst düzeye çıkaran) örneği bulmaktır. sorun.

Şimdi bana öyle geliyor ki Grover'ın algoritması esasen aynı şeyi yapabilir: çözüm alanını araştırarak, bu durumda optimallik koşuluna eşit olan kehanet kriterlerini karşılayan bir çözüm (muhtemelen birçok çözümden), zamanında , burada , çözelti boşluğunun boyutudur.$O(\sqrt N)$$N$

Bu algoritmanın optimal olduğu gösterilmiştir: Bennett ve ark. (1997), "o sınıfı kuantum Turing makinesinde zaman çözülemez ". Anladığım kadarıyla, bu, boşlukta daha hızlı arama yaparak bir çözüm bulan herhangi bir kuantum algoritması oluşturmanın hiçbir yolu olmadığı anlamına gelir ; burada , sorun boyutuyla ölçeklenir.$\rm NP$$o(2^{n/2})$$O(\sqrt N)$$N$

Yani sorum şu: Adyabatik kuantum hesaplama, optimizasyon problemleri söz konusu olduğunda genellikle üstün olarak sunulsa da, gerçekten den daha hızlı olabilir mi? Evet ise, bu herhangi bir adyabatik algoritma bir kuantum devresi tarafından simüle edilebildiğinden, Grover algoritmasının optimumluğuyla çelişiyor gibi görünüyor. Değilse, adyabatik algoritmalar geliştirmenin anlamı nedir, eğer asla sistematik olarak devrelerle inşa edebileceğimiz bir şeyden daha hızlı olmayacaklarsa? Yoksa anlayışımla ilgili bir sorun mu var?$O(\sqrt N)$

İyi soru. Yapılandırılmamış arama için, adyabatik kuantum hesaplama gerçekten aynı verir hızlanma standart kapı tabanlı Grover algoritması yaptığı, içinde kanıtlanmış olarakbuRoland ve Cerf tarafından önemli kağıdı. Bu, bahsettiğiniz adyabatik ve kapı tabanlı kuantum hesaplama arasındaki denkliği kabul eder.$\sqrt{N}$

(Sorunuz için küçük bir düzeltme: kehanet arama problemi kurulumunda, arama sorgunuzu kehanetin cevaplayabileceği bir evet / hayır sorusu olarak çerçevelemeniz doğrudur. Ancak soru aslında alınmamıştır. " f ( x ) fonksiyonunu aşar mı?" olarak ifade eder. Bunun yerine, " f ( x ) , M'den küçük veya M'ye eşit mi?" Bkz . burada 9 ve 10 numaralı slaytlar . soru, fiziksel bir kurulum için daha gerçekçi bir model olarak kabul edilir.kişinin belirli bir x için f ( x $x$$f(x)$$f(x)$$M$$f(x)$$x$, ancak .)$f(x) - f_\text{min}$

Bununla birlikte, adiabatik QC için her ikisi de teorik olarak çalışmak zor olan iki potansiyel avantaj vardır. Birincisi pratiktir: aslında büyük tutarlı kuantum devreleri inşa etmek, bunları sadece bir dergi makalesinde çekmekten çok daha zordur. Adyabatik QC'nin geleneksel düzene göre herhangi bir temel avantajı olmamasına rağmen , deneysel olarak uygulanması çok daha kolay olabilir.

İkinci olarak, aynı büyük uyarı, standart Grover'ın algoritmasıyla aynı AQC için geçerlidir: yalnızca yapılandırılmamış veya "kara kutu" araması için geçerlidir ; burada tamamladığımız, kehanetin "benzer" veya " ilişkili "sorgular. Önem verdiğimiz herhangi bir gerçek arama probleminin tanımı gereği bazı yapıları vardır, ancak bu yapı analiz etmek bizim için çok karmaşık olabilir. Örneğin, fonksiyonun bir enerji peyzajı olarak aşılması gerektiğini düşünürsek, sistemin "yakın" yerel minima arasında "uzak" olanlardan daha kolay tünel oluşturabileceği makul görünmektedir.

Gerçek bir denemede adyabatik ve kapı tabanlı kurulumların göreceli faydalarını gerçekten titizlikle karşılaştırmak için, "relativizasyon bariyerinin üstesinden gelmeniz" ve aşmaya çalıştığınız özel fonksiyonun yapısını göz önünde bulundurmanız gerekir. genellikle gerçekten yapmak zor. Bu, iki yaklaşımın gerçek dünyadaki göreceli avantajları hakkında genel sonuçlar çıkarmayı çok zorlaştırmaktadır. Ayrıca, koşulsuz karmaşıklık ayrımlarını teorik olarak kanıtlamak neden bu kadar zor. Bildiğimiz herkes için, kâhin problemleri yerine gerçek dünya için, kuantum bilgisayarlar üstel hızlanmalar verebilir - muhtemelen NP-tam problemleri için bile , bu çok olası görülmese de NP BQP'yi ima eder .$\subset$

Adyabatik kuantum hesaplama, hesaplama karmaşıklığı perspektifinden devre tabanlı kuantum hesaplamadan daha hızlı bir şey yapamaz . Bunun nedeni, devre temelli kuantum hesaplamanın adyabatik kuantum hesaplamasını etkin bir şekilde simüle edebileceğinin matematiksel bir kanıtı olmasıdır [ bu makalenin 5. bölümüne bakın ].

gerçekten daha hızlı olabilir mi $\mathcal{O}(\sqrt{N})$?

The answer is no. This is because if AQC could do it in, say, $\mathcal{O}(\log{N})$, then circuit-based QC could also do it in $\mathcal{O}(\log{N})$ by the algorithm in section 5 of the paper I linked above. This would violate the optimality of $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ for unstructured search.