Bir kuantum algoritması kullanarak ağırlık matrisinin üretimini hızlandırmak mümkün mü?

Olarak , bu ^[1] kağıt, sayfa 2, bunlar aşağıdaki gibi ağırlık matrisi üreten söz:

$$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$$

nerede $\mathbf{x}^{(m)}$o $d$boyutlu eğitim örnekleri (ör. $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ nerede $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$) ve var $M$toplam eğitim örnekleri. Matris çarpımı ve ardından toplamı kullanarak bu ağırlıklandırma matrisi üretimi$M$ terimleri zaman karmaşıklığı açısından maliyetli bir işlem gibi görünüyor yani $O(Md)$ (?).

Ağırlık matrisinin üretilmesi için önemli bir hızlanma sağlayabilecek herhangi bir kuantum algoritması var mı? Gazetede ana hızlarının kuantum matris inversiyon algoritmasından (daha sonra kağıtta bahsedilmektedir) geldiğini düşünüyorum, ancak ağırlık matrisi üretiminin bu yönünü dikkate almamış gibi görünüyorlar.

[1]: Bir Quantum Hopfield Sinir Ağı Lloyd ve ark. (2018)

Yoğunluk matrisini alma

$$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$$ ayrıntıların birçoğu sayfa 2'deki aşağıdaki paragrafta bulunmaktadır:

Sinir ağlarının kuantum adaptasyonları için çok önemli olan, aktivasyon modellerinin klasik-kuantum okumasıdır. Bizim ayarımızda bir aktivasyon modelinde okuma$x$ kuantum durumu hazırlama miktarları $|x〉$. Bu prensipte, kuantum rasgele erişim belleği (qRAM) [33] veya kısıtlı, kehanet temelli sonuçların mevcut olduğu verimli kuantum durum hazırlama teknikleri kullanılarak elde edilebilir [34]. Her iki durumda da, hesaplama yükü logaritmiktir.$d$. Alternatif olarak tam bir kuantum perspektifi uyarlayabilir ve aktivasyon modellerini alabilir$|x〉$doğrudan bir kuantum cihazından veya bir kuantum kanalının çıkışı olarak. İlkinde, kuantum cihazı, kubit sayısı ile en çok polinom olarak ölçeklenen bir dizi kapıdan meydana geldiğinde, hazırlık çalışma süremiz verimlidir. Bunun yerine, ikincisi için kanalı tipik olarak uygulamak için hesaplama yükü gerektirmeyen bir tür sabit sistem-çevre etkileşimi olarak görüyoruz.

Yukarıdaki referanslar:

[33]: V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone, Kuantum rasgele erişim belleği, Fiziksel İnceleme Mektupları 100, 160501 (2008) [ PRL bağlantısı , arXiv bağlantısı ]

[34]: AN Soklakov, R. Schack, Kuantum bit kaydı için etkin durum hazırlığı, Fiziksel İnceleme A 73, 012307 (2006). [ PRA bağlantısı , arXiv bağlantısı ]

---

Nasıl yapılacağına dair ayrıntılara girmeden, yukarıdakilerin her ikisi de sırasıyla, etkili bir qRAM uygulamak için sırasıyla şemalardır; yeniden yaratan ve etkili devlet hazırlığı$\left|x\right>$ zamanında $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$.

Ancak, bu sadece bizi şimdiye kadar götürüyor: bu devleti yaratmak için kullanılabilir $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$, mümkün olan her şey için bir miktar istiyoruz $m$'S.

En önemlisi, $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$ karışıktır, bu yüzden tek bir saf durumla temsil edilemez, bu nedenle saf durumların yeniden yaratılmasına ilişkin yukarıdaki iki referansın ikincisi geçerli değildir ve ilki devletin zaten qRAM'da olmasını gerektirir.

Bu nedenle, yazarlar üç olası varsayımdan birini yaparlar:

1. Onlara doğru giriş durumunu veren bir cihaz var

2. Ya devletleri var $\rho^{\left(m\right)}$ qRAM’da,

3. Yukarıdaki referansların ikincisini kullanarak bu devletleri istedikleri gibi yaratabilirler. Karışık durum daha sonra bir kuantum kanalı (yani tamamen pozitif, iz koruyucu (CPTP) haritası) kullanılarak oluşturulur.

Şu an için yukarıdaki seçeneklerin ilk ikisini unutmak (birincisi problemi sihirli bir şekilde çözer), kanal şunlardan biri olabilir:

• analog bir simülasyona benzer bir şeyde belirli bir örnek için yaratılacağı için tasarlanmış bir sistem. Başka bir deyişle, fiziksel olarak uzun süren fiziksel bir kanalınız var$t$(zaman karmaşıklığının aksine). Bu, "hesaplamaya yönelik bir ek yük gerektirmeyen sabit sistem-çevre etkileşimi" dir.

• Kanalın kendisi simüle edilmiştir. Bény ve Oreshkov'un kuantum kanallarının yaklaşık simülasyonu ( arXiv bağlantısı - bu ayrıntılı bir kağıt gibi görünüyor, ancak herhangi bir zaman karmaşıklığı ifadesi bulamadım) gibi birkaç makale var , Lu ve ark. al. takımından Deneysel kuantum kanal simülasyon (hayır arXiv versiyonu varoldukları için görünüyor) ve Wei, Xin ve Long'un arXiv Preprint IBM'in bulut kuantum bilgisayar Verimli evrensel kuantum kanal simülasyonu olan (qubits sayısı için,$n=\lceil\log_2 d\rceil$) zaman karmaşıklığı verir $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$. Stinespring dilatasyonu da karmaşıklığı ile birlikte kullanılabilir.$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$.

---

Şimdi seçenek 2 bakarak ¹ olası bir daha etkili yöntem, durumları adres kaydından normal yöntemde veri kaydına aktarmak olacaktır: kayıttaki adresler için$a$, $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$, bunu veri kaydına aktarmak veri kaydındaki durumu verir $d$ gibi $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$. Adres ve veri kaydının karışık bir duruma dönüştürülmesi için basitçe çözülmesi mümkün olmalıdır, bu da ek bir hesaplama karmaşıklığı ek yükü olmamasına rağmen, çok daha gelişmiş bir üretim karmaşıklığı sağlar.$\rho$, devletlerle bir qRAM verildi $\left|x^{\left(m\right)}\right>$, nın-nin $\mathcal O\left(n\right)$. Bu aynı zamanda devletleri yaratmanın karmaşıklığıdır$\left|x^{\left(m\right)}\right>$ ilk etapta, potansiyel (çok gelişmiş) üretim karmaşıklığı $\rho$ nın-nin $\mathcal O\left(n\right)$.

^{1 Bu olasılığı sohbette belirttiği için @glS sayesinde}

---

Bu yoğunluk matrisi daha sonra simüle etmek için kullanıldığı 'qHop' (kuantum Hopfield) içine beslenir. $e^{-iAt}$ for

$$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$$ as per the "Efficient Hamiltonian Simulation of A" subsection on page 8.