Doğrusal denklem sistemleri için kuantum algoritması (HHL09): Adım 1 - Faz tahmin algoritmasının kullanımına ilişkin karışıklık

11

Bir süredir , doğrusal denklem sistemleri (Harrow, Hassidim ve Lloyd, 2009) (daha popüler olarak HHL09 algoritma kağıdı olarak biliniyor ) için ünlü (?) Kuantum algoritması etrafında başımı çekmeye çalışıyorum .

İlk sayfada derler ki :

Burada algoritmamızın temel fikrini çiziyoruz ve sonraki bölümde daha ayrıntılı olarak tartışıyoruz. Bir Hermitian matrisi ve bir birim vektörü verildiğinde , varsayalım tatmin edici bulmak isteriz . (Verimlilikle ilgili daha sonraki soruları ve ve hakkında yaptığımız varsayımların nasıl gevşetilebileceğini tartışıyoruz .) İlk olarak, algoritma kuantum durumu olarak temsil eder $N\times N$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ . Daha sonra, uygulama Hamilton simülasyon [3, 4] tekniklerini kullanmak içinfarklı zamanlarda bir üst üste için. üs alma kabiliyeti, iyi bilinen faz-tahmin tekniği [5-7] yoluyla ayrışma yeteneğine dönüşmektedir arasında eigenbasis içindeve karşılık gelen özdeğerler bulmak için gayri bu aşamadan sonra sistemin durumu yakın için $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ ,ait özvektörü temelidir ve. $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

Çok uzak çok iyi. De tarif edildiği gibi, Nielsen ve Chuang "bölümde Fourier miktar ve uygulamaları ", faz kestirim algoritması tahmin etmek için kullanılan olarak özdeğer bir özvektör tekabül ettiği üniter operatörün . $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

İşte Nielsen & Chuang'ın ilgili kısmı:

Faz tahmin algoritması iki kayıt kullanır. İlk kayıt başlangıçta qubits içerir . Biz seçim nasıl iki şeye bağlıdır: doğruluk hane sayısı biz ilişkin tahminimizden de sahip olmak isteyen ve biz faz tahmin prosedürü istediğine olasılık ile başarılı olmak. Bağımlılığı Bu miktarları aşağıdaki analiz doğal olarak ortaya çıkar. $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

İkinci kayıt eyalette başlar ve mağaza gereklidir gibi birçok qubits olarak içerdiği . Faz tahmini iki aşamada gerçekleştirilir. İlk olarak, Şekil 5.2'de gösterilen devreyi uygularız. Devre ilk kayda bir Hadamard dönüşümü uygulanarak başlar, ardından ikinci kayıtta kontrollü operasyonları uygulanır, iki ardışık güce yükseltilir. İlk kaydın nihai durumunun kolayca olduğu görülür: $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} exp (2 π i φ k) | k ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

Faz kestiriminin ikinci aşaması, ilk yazmaç üzerine ters kuantum Fourier dönüşümünü uygulamaktır. Bu, önceki bölümde kuantum Fourier dönüşümü için devrenin ters çevrilmesiyle elde edilir (Alıştırma 5.5) ve adımlarla yapılabilir. Faz kestiriminin üçüncü ve son aşaması, hesaplama esasına göre bir ölçüm yaparak ilk kaydın durumunu okumaktır. Bunun için oldukça iyi bir tahmin sağladığını göstereceğiz . Algoritmanın genel bir şeması Şekil 5.3'te gösterilmektedir. $\Theta (t^2)$ $\varphi$

Faz tahmini işleri, varsayalım neden olarak bizim sezgi keskinleştirmek için olarak, tam olarak int bit ifade edilebilir . Daha sonra faz tahmininin ilk aşamasından kaynaklanan durum (5.20) yeniden yazılabilir $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t - 1} φ_{t} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{t} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
Faz kestiriminin ikinci aşaması, ters kuantum Fourier dönüşümünü uygulamaktır. Ancak önceki denklemi Fourier dönüşümü, Denklem (5.4) için ürün formuyla karşılaştırarak, ikinci aşamadaki çıkış durumunun ürün durumu olduğunu görüyoruz . Bu nedenle, hesaplama temelinde bir ölçüm bize tam olarak verir ! $|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

$\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

^$\dagger$

Adım 1 (Faz Tahmini):

$A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

$U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Soru:

$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Burada ne eksik? faktörü nerede $\frac{t}{2\pi}$

Edit: Bölüm 2 burada bireysel soruları daha odaklı hale getirmek için istendi .

^{Ayrıca HHL09 algoritmasının Adım 2 ve Adım 3 ile ilgili çeşitli karışıklıklarım var, ancak bu soru çok uzun olduğu için bunları ayrı soru konuları olarak göndermeye karar verdim. Oluşturulduktan sonra bu yazıdaki bu konulara bağlantılar ekleyeceğim.}

$\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Sanchayan Dutta
kaynak

1

6

$6$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

5

Makalelere bağlı ama 2 yaklaşım gördüm:

$t$ $t = t_0 = 2\pi$
$\tilde \lambda$ $\lambda$ $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ $\frac{\lambda t}{2\pi}$

İşte bazı bağlantılar:

$t$ $2\pi$
$t$ $t_0$ $2\pi$
$t = 2\pi$
$t_0 = 2\pi$

— Nelimee
kaynak

2

Burada ne eksik? faktörü nerede $\frac{t}{2\pi}$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$

— DaftWullie
kaynak