Yalnızca Toffoli kapılarını kullanarak bir CCCNOT geçidinin uygulanması

Bir CCCNOT geçidi, ancak ilk üç bitin hepsi durum ise dördüncü bitini çeviren dört bitli tersinir bir geçittir .$1$

Toffoli kapılarını kullanarak bir CCCNOT geçidini nasıl uygularım? Çalışma alanındaki bitlerin, bu değere döndürmeniz koşuluyla, 0 veya 1 gibi belirli bir değerle başladığını varsayın.

Aradığın şey şu devre. Burada, $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ ve $\oplus$ ek modül bir $2$ .

Burada, beşinci kübit yardımcı ya da ancilla kübit olarak kullanılır . Başlıyor $|0\rangle$ ve uçları $|0\rangle$ devre uygulandığı zaman.

Bu devrenin nasıl işlediğini açıklayayım. Fikir her şeyden önce ilk iki kubitin devlette olup olmadığını kontrol etmektir $|1\rangle$ . Bu tek bir Toffoli geçidi kullanılarak yapılabilir ve sonuç yardımcı kubitte saklanır. Şimdi, qubit 3 ve yardımcı qubit her kullanıldığında , problem kubit $4$ çevirmeye indirgenir | 1 ⟩ . Bu, bir Toffoli geçidinin bir uygulaması, yani yukarıda gösterilen devrede orta olan bir uygulama kullanılarak da gerçekleştirilebilir. Son olarak, son Toffoli kapısı , yardımcı kubitte sakladığımız geçici sonucu hesaplamak için kullanılır , böylece bu kübitin durumu | 0 ⟩$3$$|1\rangle$$|0\rangle$ devre uygulandıktan sonra.

---

Yorum bölümünde, böyle bir devrenin, yardımcı kubitler kullanmadan sadece Toffoli kapıları kullanılarak uygulanmasının mümkün olup olmadığı ortaya çıktı. Bu soru burada göstereceğim gibi olumsuz olarak cevaplanabilir.

$\mathrm{CCCNOT}$$X$

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $N$$I_N$$\mathrm{CCCNOT}$$16 \times 16$ $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ $4$ $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Toffoli kapıları elbette farklı kübitler üzerinde de hareket edebilir. Toffoli kapısının birinci, ikinci ve dördüncü kubit üzerinde hareket etmesine izin verdiğimizi varsayalım, dördüncü kubit hedef kübittir. Daha sonra, yalnızca üçüncü ve dördüncü kubitte farklılık gösteren durumlara karşılık gelen sütunları değiştirerek, yani , , ile arasında değişen yeni matris temsilini elde ederiz. vb burada dikkat edilmesi gereken önemli şey, sütun takası sayısı bile, ve dolayısıyla belirleyici değişmeden kalmasıdır olmasıdır. Her permütasyonunu sadece ardışık permütasyon dizisi olarak (yani,$|0001\rangle$$|0010\rangle$$|0101\rangle$$|0110\rangle$$2$$S_4$ transpozisyonlar tarafından ), herhangi bir kontrol ve hedef kubit kombinasyonuna uygulanan tüm Toffoli kapıları için matris gösteriminin belirleyici sahip olduğunu buluyoruz .$S_4$$1$

Dikkat edilmesi gereken son şey, determinantın matris çarpımı ile, yani matris çarpımı ile uyumlu iki ve matrisi için , işe gidip gelmesidir . Bu nedenle, artık birden fazla Toffoli geçidinin sırayla uygulanmasının, matris gösterimi farklı bir belirleyiciye sahip bir devre oluşturmadığı, özellikle sadece qubit üzerinde sadece Toffoli geçitleri kullanılarak uygulanamayacağı anlamına gelir. .$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$A$$B$$1$$\mathrm{CCCNOT}$$4$

Asıl soru, yardımcı bir kübite izin verdiğimizde ne değiştiğidir. Biz eylemi yazarken Biz cevap bulmak Bir üzerinde -GATE -qubit sisteminin: Bu belirleyiciyi hesaplarsak, : Hence, belirleyici ilgili -GATE hareket qubits olan yerine, . Bu yüzden önceki argüman için geçerli değil$\mathrm{CCCNOT}$$5$

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ $\mathrm{CCCNOT}$$5$$1$$-1$$5$ OP'nin istediği açıkça inşa edilmiş devre nedeniyle zaten bildiğimiz gibi qubits.