Doğrusal denklem sistemleri için kuantum algoritması (HHL09): Adım 2 - Başlangıç ​​durumlarının hazırlanması

^{Bu doğrusal denklem sistemleri (HHL09) için Kuantum algoritmasının devamıdır : Adım 2 - Nedir$|\Psi_0\rangle$?}

Makalede: Doğrusal denklem sistemleri için kuantum algoritması (Harrow, Hassidim ve Lloyd, 2009) , algoritmanın gerçek uygulamasının ayrıntıları verilmemiştir. Devletler tam olarak nasıl$|\Psi_0\rangle$ ve $|b\rangle$oluşturulur, bir çeşit " kara kutu " dır (bakınız sayfa 2-3).

ve

nerede $|\Psi_0\rangle$ saat kaydının başlangıç ​​durumudur ve $|b\rangle$ Giriş kaydının başlangıç ​​durumudur.

(Say) algoritmalarını IBM üzerinde gerçekleştirmek istiyorum$16$- kuantum bilgisayar. Ve belirli bir denklemi çözmek istiyorum$\mathbf{Ax=b}$ nerede $\mathbf{A}$ bir $4\times 4$ Hermitian matrisi ile gerçek girişler ve $\mathbf{b}$ bir $4\times 1$ sütun vektör gerçek girişleri ile.

Bir örnek verelim:

ve

Verilen boyutları $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{b}$, ihtiyacımız var $\lceil{\log_2 4\rceil}=2$ giriş yazmacı ve diğeri için kübitler $6$ Özdeğerlerin temsil edilmesini istediğimizi varsayarak saat yazmacı için kübitler $90\%$ doğruluk ve $3$özdeğerler için bit hassasiyeti (bu daha önce burada tartışılmıştır ). Toplam$2+6+1=9$ bu amaç için kübitler gerekli olacaktır (ekstra $1$ kübit ancilladır).

Sorular:

1. Bu bilgileri kullanarak , başlangıç ​​durumlarını oluşturmak mümkün müdür?$|\Psi_0\rangle$ ve $|b\rangle$ IBM'de $16$ qubit sürümü?

2. Eğer düşünürsen $4\times 4$IBM kuantum bilgisayarlarda uygulanacak çok büyük olduğu hatta bir gösterebilirim örnek a için ilk devlet hazırlık$2\times 2$ Hermityen matrisi $\mathbf{A}$ (veya böyle bir örneğe bir referans veriniz).

IBM 16-qubit kuantum bilgisayarında bunun yapıp yapamayacağı (yani mümkün olup olmadığı) ve bunun için kapıların gerekli olacağı hakkında genel bir fikir edinmek istiyorum . IBM 16-qubit kuantum bilgisayarı değilse, QISKit simülatörü, aşağıdakilerin ilk durum hazırlığını yeniden oluşturmak için kullanılabilir mi?$|\Psi_0\rangle$ ve $|b\rangle$HHL algoritmasında? Bununla ilgili daha iyi bir alternatif var mı?

İlk durumları oluşturmak mümkün değildir $\left| \Psi_0\right>$ ve $\left|b\right>$IBM 16 qubits sürümünde. Öte yandan, IBM yongaları tarafından uygulanan kapılar bu olasılığı sunduğundan, keyfi olarak düşük bir hata ¹ ile yaklaşık olarak tahmin etmek mümkündür .

Burada 2 farklı kuantum durumu istersiniz:

1. $\left| b \right>$hiç kısıtlanmamıştır. Eyalet$\left| b \right>$ bir vektör ile temsil edilir $N$ herhangi bir şey olabilen karmaşık sayılar (vektör üniter norm olduğu sürece).
2. $\left| \Psi_0 \right>$ özel bir durum olarak görülebilir $\left| b \right>$, katsayılar nerede $b_i$ daha kısıtlı.

Bu analizle, oluşturmak için kullanılabilecek herhangi bir yöntem $\left|b\right>$ oluşturmak için de kullanılabilir $\left| \Psi_0 \right>$. Öte yandan,$\left| \Psi_0 \right>$ daha kısıtlıysa, üretmek için daha verimli algoritmalar olduğunu umabiliriz $\left| \Psi_0 \right>$.

İçin yararlı $\left|b\right>$ ve $\left|\Psi_0\right>$: Kuantum Mantık Devrelerinin Sentezine (Shende, Bullock ve Markov, 2006) dayanarak, QISKit Python SDK, keyfi bir kuantum durumunu başlatmak için genel bir yöntem uygular.

İçin yararlı $\left|\Psi_0\right>$: Etkili bir şekilde bütünleştirilebilir olasılık dağılımlarına karşılık gelen üst üste diziler oluşturmak (Grover ve Rudolph, 2002) , genlikleri bazı kısıtlamalara saygı gösteren bir olasılık dağılımını temsil eden bir durumu başlatmak için hızlı bir algoritma sunar. Bu kısıtlamalara$\left|\Psi_0\right>$doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için Kuantum algoritmasına göre (Harrow, Hassidim ve Lloyd, 2009) , son sayfa 5.

QISKit üzerinde uygulama için, belirli bir kuantum durumunu başlatmak için bir örnek:

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

¹ Burada "hata", mükemmel bir kuantum bilgisayarı ile uğraşırken ideal durum ile yaklaşık değer arasındaki hatayı ifade eder (yani, özürlülük yok, geçit hatası yok).

4 x 4 A matrisine sahip HHL algoritması, IBM bilgisayarı için büyük olabilir. ArXiv 1302.1210 link'e göre algoritmanın daha küçük bir oyuncak versiyonunu denedim Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü

Stackexchange'teki bu devre hakkında biraz açıkladım: /cs/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036 # 77036

Ne yazık ki, A = 2 x 2 matrisi olan sadece 1 qubit bir giriştir, cevapta IBM devresine bir bağlantı verilir.