Bir kuantum devresinde bir matris üstel nasıl uygulanır?

Belki bu naif bir sorudur, ama bir kuantum devresindeki bir matrisin gerçekte nasıl üstleneceğini anlayamıyorum. Genel bir kare matris A olduğu varsayılarak , üstelini elde etmek istersem, , seriyi kullanabilirim $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Yaklaşmasını sağlamak. Aynı şeyi kuantum kapılarını kullanarak nasıl elde edemem, sonra örneğin bir Hamilton simülasyonu uygulamak için uygulayın. Biraz yardım?

— FSic
kaynak

giriş ve çıkış olarak veya Hamilton simülasyonu olarak alan bir kuantum devresinden söz edip etmediğiniz açık değildir (yani, birimsel matrisi eşleşen bir devre oluşturun ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

Benim hatam; Demek istediğim, A matrisini aldım, devremde üstel olmasını istiyorum, .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Sorunuzu yeniden düzenleme:

jenerik kare matrisi için Hamilton Simülasyonu nasıl yapılır ? $A$

Hızlı cevap : mümkün değil.

Hamilton Simülasyonunun (HS) amacı, aşağıdaki gibi davranan bir kuantum devresi (örn. Arka arkaya kapılar) bulmaktır $U(t) = e^{-iAt}$ kuantum halde. Buraya $U(t)$ (kuantum kapılarının özellikleri nedeniyle) üniter olması gerekir ve bu nedenle $e^{-iAt}$ üniter olması da gerekiyor.

HS algoritması sadece matrisler için geçerlidir $A$ öyle ki $e^{-iAt}$ üniterdir. Her münzevi matris bu mülkiyeti tatmin eder, ancak her generic square matrixşey tatmin etmez. Sorununuza bağlı olarak, bu sınırlama bir sorun olabilir veya olmayabilir, ancak HS'yi kullanamazsanız $e^{-iAt}$ üniter değildir.

Örneğin, HHL algoritması için ( $A$ alt program olarak) $Ax=b$ , Eğer $e^{-iAt}$ üniter değil, problemi düşünebilirsiniz

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$ HHL ile çözmek (şimdi mümkün çünkü yeni matris

C

$C$ münzevi)

x

$x$ .

İlginç soru şimdi:

Belirli bir hermityan matris için Hamilton Simülasyonu nasıl gerçekleştirilir $A$ ?

Ve cevap, $A$ .

Bu çok büyük bir araştırma konusu ve üzerinde söylenecek çok şey var. Burada her yöntemi sunmayacağım çünkü oldukça karmaşık ve hepsini anlamadım. HS ile ilgili ve HS ile başlamak ilginç olabilecek bildirilerin / sunumların listesi:

Küçük bir kuantum bilgisayarında Hamilton dinamiğini simüle etmek : HS hakkında slaytlar. Bir sunum olsa bile, bu Hamiltonian Simulation'da bulduğum en eksiksiz kaynak. Hızlı bir şekilde 3 farklı yöntem sunar ve her yöntem için ilginç makaleler sunar.
Kuantum Algoritmaları Üzerine Ders Notları (Andrew M. Childs, 2017) : son ve oldukça eksiksiz. HS bölüm 25'te tartışılmaktadır (sayfa 123).
Seyrek Hamiltonyalıları simüle etmek için hassasiyette üstel ilerleme : 1'de sunulan 3 yöntemden birini ayrıntılı olarak sunar.
Seyrek Hamiltonyalıları simüle etmek için verimli kuantum algoritmaları : 1'de sunulan 3 yöntemden birini ayrıntılı olarak sunar.

— Nelimee
kaynak

Teşekkür ederim, özellikle referanslar için, onlara bir göz atacağım!

— FSic

İlk referansla başlamanızı tavsiye ederim. En eksiksiz ve diğer makalelere bağlantı verir. Benim için (kişisel bakış açısı), Trotter-Suzuki formülünü kullanan ilk teknik en anlaşılır olanıdır. Ama sizin için aynı olmayabilir!

— Nelimee

Her hermitian matris bu özelliği karşılar : daha spesifik olarak, tüm ve sadece Hermitian matrisleri bu özelliğe sahiptir

— glS