Bir dizi kapı için evrensellik nasıl kanıtlanır / çürütülür?

Evrensel bir kapı seti, yeterli kapı verildiğinde başka bir kapı tipinin çalışmasını taklit edebilir. Örneğin, kuantum kapılarının evrensel grubu olan Hadamard (  $H$  ), $\pi/8$ faz kayması (  $T$  ), ve $\mathrm{CNOT}$ kapısı. $\{H,T\}$ , $\{\mathrm{CNOT},T\}$ veya $\{\mathrm{CNOT}, H\}$ gibi bir dizi geçidin evrenselliğini nasıl kanıtlayabilir veya kanıtlayabilir ?

Evrensellik, kanıtlanması oldukça zor olan çok ince bir şey olabilir. Bunu kanıtlamak için genellikle iki seçenek vardır:

• doğrudan, seçtiğiniz kapıları kullanarak, keyfi boyutta (tam Hilbert'in önemsiz olmayan bazı alt alanlarında) rasgele doğruluk için keyfi boyutta herhangi bir keyfi ünitenin nasıl inşa edileceğini (inşaatın boyutunda herhangi bir kısıtlama yoktur, sadece yapılabilir) Uzay).

• seçtiğiniz kapı grubunun mevcut bir evrensel seti yeniden oluşturmak (keyfi olarak) için nasıl kullanılabileceğini gösterin.

Tersine, onu reddetmek istiyorsanız, kapı setinizin etkisinin her zaman (genellikle) daha az bir hesaplama modeli, genellikle klasik hesaplama ile simüle edilebileceğini gösterirsiniz.

Rehberlik için kullanabileceğiniz birkaç buluşsal yöntem vardır:

• setinizde çoklu kübit bir kapı olması gerekir. Tüm sahip olduğunuz tek kubit kapıları ise, her kübiti klasik bir bilgisayarda bağımsız olarak simüle edebilirsiniz. Dolayısıyla, kuantum bilgisayarların klasikten daha güçlü olduğuna inanırsak, tek kubit kapıları tek başına kuantum hesaplama için evrensel değildir. Bu, {H, T} kurallarını hariç tutar.

• süperpozisyonlar yaratan bir kapıya sahip olmalısınız. Bu, {CNOT, T} kurallarını hariç tutar. Yine, bu alakasız bir küresel fazın eklenmesiyle klasik bir hesaplamadır.

Tabii ki, bunlar yeterli koşullar değildir: {H, S, CNOT} seti de etkili bir şekilde simüle edilebilir (bkz. Gottesman-Knill teoremi). Bu, bir alt küme oldukları için {H, CNOT} için de geçerli olmalıdır ve bu nedenle oluşturabilecekleri işlemler orijinal kümenin işlemlerinden daha fazla değildir.

En ilginç bulduğum evrensel setlerden biri {Toffoli, H} . Bunun yeterli olması beni özellikle şaşırtıyor (özellikle bir önceki setle karşılaştırdığınızda). Herhangi bir karmaşık sayı içermediğini unutmayın.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen ve Chuang, 10. yıldönümü baskısının 191. sayfa:

$d$$n$$n$

İlk cümle kabul edilen bir sonuç var, bu yüzden kapı setinizin kombinasyonunun "keyfi iki seviyeli üniter operasyon" uygulayabildiğini göstermelisiniz. Vikipedi teklifi yapmak için:

Teknik olarak, bu mümkün değildir çünkü olası kuantum kapılarının sayısı sayılamazken, sonlu kümeden sonlu dizi sayısı sayılabilir. Bu sorunu çözmek için, sadece herhangi bir kuantum işleminin bu sonlu kümeden bir dizi kapı ile yaklaştırılabilmesini istiyoruz.

Ayrıca bu makaleye de bakınız .