Yerel Clifford eşdeğeri, asal olmayan boyuttaki qudit grafik durumları için doğrudan bir grafik temsili var mı?

Bu soru, önceki QCSE sorusunun bir devamıdır: " Qudit grafik durumları, asal olmayan boyut için iyi tanımlanmış mı? " Sorunun cevabından, -boyutlu quadits kullanarak grafik durumlarını tanımlamakta yanlış bir şey olmadığı anlaşılmaktadır, ancak grafik durumlarının diğer tanımlayıcı yönleri, asal olmayan boyuta benzer şekilde uzanmamaktadır.$d$

Özellikle, kubit grafik durumları için, yaygınlıklarının ve kullanımlarının önemli bir yönü şudur: herhangi iki grafik durumu, yalnızca ve bir grafiği diğerine götüren bir dizi yerel tamamlama dizisi varsa yerel Clifford eşdeğeri (basit, yönlendirilmemiş grafikler). Söylemeye gerek yok, bu kuantum hata düzeltme, dolaşma ve ağ mimarilerinin analizinde inanılmaz derecede yararlı bir araçtır.

-kontrol grafik durumları dikkate alındığında , eşdeğer grafik artık bitişik matris ile ağırlıklandırılmıştır; burada kenar ağırlığıdır (i, j) ( ile a_ {ij} = 0 ) bir kenarı Varlığından göstermektedir. Qudit durumunda LC eşdeğerliğinin yerel tamamlamanın genelleştirilmesi ( \ ast_a v ) ve bir kenar çarpma işleminin ( \ circ_b v ) dahil edilmesiyle benzer şekilde genişletilebildiği gösterilmiştir : burada: \ begin {align} \ ast_a v & : A_ {ij} \ A_ {ij} + aA_ {vi} A_ {vj} \ quad \ forall \; \; i, j \ in N_G (v), \; i \ neq j \\ \ circ_b v &: A_ {vi} \ mapsA ​​bA_ {vi} \ quad \ forall \; \; i \ in N_G (v), \ end {align}$n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ burada $a, b = 1, \ldots, d-1$ ve tüm aritmetik modulo p yapılır $p$.

Grafik olarak, bu aşağıdaki işlemler ile temsil edilir ( Ref. 2'den çoğaltılmıştır ):

Bununla birlikte, grafik durumu asal olmayan boyuttaki quaditlerde tanımlanmışsa, bu işlemlerin LC eşdeğerliğini temsil etmediğini (göründüğü gibi) görebiliriz.

Örneğin, qudit durumunu alır grafiği tasvir . Qudit boyutu için tanımlanan Şekil l'de 1, ve izin , bu şekilde . Bu durumda sonra ve dolayısıyla qudit , sadece yerel işlemler kullanılarak diğer tüm quaditlerden ayrılır. Açıkçası bu yanlıştır ve önceki soruların cevabında belirtildiği gibi sıfır bölen sorunu nedeniyle oluşur .$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

Benim sorum: asal olmayan boyutta qudit grafik durumları için yerel Clifford eşdeğerini düzgün bir şekilde temsil eden herhangi bir grafik işlemi kümesi var mı?

Not: Öncelikle , Bölüm'de önerildiği gibi, birden fazla asal boyutlu grafik durumuna olası ayrışmalardan ziyade, bir devletin temsili için doğrudan tek bir ağırlıklı grafik olarak temsil edilen operasyonlarla ilgileniyorum . 4.3 " Kesinlikle En Çok Dolaşmış Qudit Grafik Durumları ".

Bu bağlamda modulo aritmetiği kullanmak yanlıştır. Bunun yerine sonlu alan aritmetiği uygulanmalıdır. Gelen burada ve konjugasyonu şekilde tanımlanır .$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Toplama, çarpma ve konjugasyon tabloları aşağıdaki gibidir:

Bu resimde , , ve öyle ki ve böylece görünen tutarsızlık oluşmuyor.$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$