Kuantum faz tahmini ve HHL algoritması - gerekli özdeğerler bilgisi?

Kuantum faz kestirim algoritması (QPE) kuantum kapısının belirli bir özvektör ilişkili özdeğerinin bir yaklaşım hesaplar . $U$

Resmen izin ver bir özvektörü olmak QPE bulmamızı sağlar, , iyi bit yaklaşımı şekilde ve $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

HHL algoritması ( orijinal kağıt ), girdi olarak bir matris alır tatmin olduğu ve bir kuantum durumu ve değerlerini hesaplar lineer sistem çözeltisinin kodlayan . $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

Açıklama : Her hermisyen matris üzerinde koşulu statisfy . $A$

$U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

$\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

$A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

$e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

$t$

$A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nelimee
kaynak

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

$A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

, değerleri dahilinde, büyük bir matris için (örneğin qubits) endişeleniyorsanız , satır toplamının hesaplanması kolay olsa da (çok fazla giriş olmadığı için), tüm satırların üstündeki maks. zaman ( satır olduğu için), iyi yaklaşımlar elde etmenin çeşitli yolları olacaktır (örneğin örnekleme veya problem yapısı bilgisini kullanma). En kötü durumda, muhtemelen biraz hızlandırmak için Grover'ın aramasını kullanabilirsiniz . $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
kaynak

Grover bir gelişme değil: algoritmayı kullanabilsek bile, hala klasik yöntemlere göre HHL'nin üstel gelişimini yok eden ve yerine ikinci dereceden bir hızlandırma ile sorgularına ihtiyacımız olacak . Yani geriye kalan tek umut örneklemektir (başka bir hata kaynağı getirin) veya dua edin ve sorunun üst / alt sınırları tahmin etmemize izin verdiğini umuyoruz. Bana algoritmanın önemli bir kusuru gibi geliyor.

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee

Tabii ki, sadece Grover'ın maks. Tabii ki bu toplam çalışma süresi üzerinde kötü bir etkiye sahiptir.

— DaftWullie