Kuantum durumlar birim vektörlerdir… hangi norm açısından?

15

Bulduğum bir kuantum durumunun en genel tanımı (tanımı Wikipedia'dan yeniden ifade etmek )

Kuantum durumlar, karmaşık sayılar üzerinde sonlu veya sonsuz boyutlu Hilbert uzayında bir ışın ile temsil edilir.

Dahası, yararlı bir temsile sahip olmak için kuantum durumunu temsil eden vektörün bir birim vektör olmasını sağlamamız gerektiğini biliyoruz .

Ancak yukarıdaki tanımda, dikkate alınan Hilbert uzayıyla ilişkili normu (veya skaler ürün) kesinleştirmezler. İlk bakışta normun gerçekten önemli olmadığını düşünmüştüm, ancak dün normun Öklid normu (2 norm) olarak seçilen her yerde olduğunu fark ettim . Bra-ket notasyonu bile öklid normu için özel olarak yapılmış gibi görünüyor.

Benim sorum: Öklid normu neden her yerde kullanılıyor? Neden başka bir norm kullanmıyorsunuz? Öklid normu, başkalarının kullanmadığı kuantum mekaniğinde kullanılabilecek faydalı özelliklere sahip mi?

— Nelimee
kaynak

2

Aslında sadece bir yorum eklemek istedim ama bununla ilgili bir itibara sahip değilim: sorunuzda yazdığınız gibi - kuantum durumlar Hilbert uzayındaki ışınlardır. Bu, normalize edilmedikleri anlamına gelir, aksine Hilbert uzayında aynı yöne işaret eden tüm vektörlerin eşdeğer olduğu anlamına gelir. Normalleştirilmiş durumlarla çalışmak daha uygundur, ancak fizik aslında devletlerin birbirleriyle örtüşmesinde gizlidir. Bu nedenle bir devletin tanımında herhangi bir norm yoktur.

— Omri Har-Shemesh

6

Born kuralı , bir ölçümden sonra durumundaki kuantum sistemini bulma olasılığı olan belirtir . 1 olmak için tüm üzerindeki toplamı (veya integrali!) İhtiyacımız var : $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Bunların hiçbiri geçerli norm değildir, çünkü homojen değildirler . Kare kökü yaparak bunları homojen hale getirebilirsiniz:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

ve bunu Öklid normu ve Öklid normunun ayrık olmayan bir alana genelleştirilmesi olarak tanıyabilirsiniz. Farklı bir norm da kullanabiliriz:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

bazı pozitif kesin matrisler / fonksiyon A için.

Bununla birlikte ,olanbirnormu,örneğin: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

1 olmak zorunda değil.

Bu şekilde Öklid normu özeldir çünkü 2, Kuantum mekaniğinin önermelerinden biri olan Born'un kuralındaki güçtür.

— user1271772
kaynak

Bu cevap @ DaftWullie'nin bir yorumuyla ilgili . Öyleyse öklid normu kullanılır, çünkü ölçüm postülası bize bunun geçerli olan tek

normu olduğunu söyler mi?

p

$p$

— Nelimee

2

Anlamlı olan tek p-normudur. Olasılıkların toplamının 1 olmasını isteriz (bu bir matematik yasasıdır) ve olasılıklar dalga fonksiyonunun karesi (Born'un kuralı olarak adlandırılan kuantum mekaniğinin bir postülası) tarafından tanımlanır.

— user1271772

@Nelimee: Sohbet'teki mesajınız için teşekkürler. 2 gün daha sohbet etmem yasaklandığım için cevap veremiyorum. İlk cevabın nedeni, "Öklid normu neden her yerde kullanılıyor? Neden başka bir norm kullanmıyorsunuz?" ve hemen geçerli bir normun Öklid normu değil, farklı bir 2-norm olduğu, farklı olmayan bir değişkenler setinde 2-norm olduğu bir durum olarak kabul edildi. Bunun Öklid normunun tek geçerli norm olmadığını ve Öklid normunun neden kullanıldığını açıklamak için yeterli olduğunu düşündüm. Ama daftwullie upvote var fark ettim ve ben yapmadım, ben

— user1271772

2

yani cevabınız "Born'un kuralı yüzünden" mi? Bu sadece soruyu "Born'un kuralı neden 2'nin gücünü kullanıyor?"

— DaftWullie

1

"Önce ne geldi, tavuk mu yumurta mı?" durum.

— user1271772

8

Bazı terminoloji burada biraz karışık görünüyor. Kuantum durumları (sonlu boyutlu Hilbert uzayı içinde), uzunluk 1'in Öklid normu ile ölçüldüğü uzunluk 1'in karmaşık vektörleri ile temsil edilir. Üniter değildirler, çünkü üniter bir vektörün değil, bir matrisin sınıflandırmasıdır.

Kuantum durumları bazı matrise göre değiştirilir / geliştirilir. Kuantum durumların uzunluk 1'e sahip olduğu göz önüne alındığında, saf durumların saf durumlara eşlemesinin üniter matrisler tarafından tanımlanması gerekli ve yeterlidir. Bunlar (Öklid) normu koruyan tek matrislerdir.

Bu kesinlikle geçerli bir soru " kuantum durumlar için farklı ( ) bir norm kullanabilir miyiz ?" Daha sonra normalize edilmiş durumları normalleştirilmiş durumlarla eşleyen işlemleri sınıflandırırsanız, bunlar inanılmaz derecede sınırlıdır. Eğer ise, tek geçerli işlemler permütasyon matrisleridir (her elemanda farklı fazlarla). Fizik çok daha sıkıcı olurdu. $p$ $p\neq 2$

Bunu hissetmenin iyi bir yolu, bir 2B eksen seti çizmeyi denemektir. Üzerinde farklı normları altında uzunluk 1 nokta kümesine karşılık gelen şekilleri çizin . size daireyi verir, size bir elmas verir ve bir kare verir. Şekli kendi üzerine haritalayan hangi işlemleri yapabilirsiniz? Çember için herhangi bir dönüş. Başka bir şey için, sadece katları ile rotasyon . Wikipedia'dan aşağıdakiler gelir: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Daha fazla ayrıntı istiyorsanız, buraya bakmak isteyebilirsiniz .

— DaftWullie
kaynak

Terminoloji hassasiyeti için teşekkürler! Haklısın, şartları kötüye kullandım.

— Nelimee

Ancak "birim vektör" ile "üniter" yerine soru güzel

— user1271772

Ancak bu cevap neden öklid normunu kullandığımızı cevaplamaz. Diğer normların uygun olmadığını anladım, ancak fizik yasalarında neyin "uygun" olduğu ve neyin olmadığı konusunda gerçekten kontrole sahip değiliz, değil mi?

— Nelimee

@Nelimee Bu rahatsız edici değil. 2-normu kullanmazsanız çok fazla işlem olmaz. Dışarı çıkabileceğimiz, bir deney yapabileceğimiz ve gözlemleyebileceğimiz kare kökü gibi işlemler. Böylece 2 norm hariç her şey hariç

— DaftWullie

1

tüm fizikte olduğu gibi! Tüm teoriler, mevcut verilere en uygun teorilerdir.

— DaftWullie

5

Daha matematiksel, çünkü , bir ile norm sadece Hilbert alandır . $\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Federico Poloni
kaynak

Cevabınızı iptal ettim (QCSE'ye harika bir ilk cevap!), Ancak 2 norm olması gerekiyor mu? 1-norm ve 3-normun geçersiz olduğunu söylüyorsunuz, ama cevabımdaki norm nedir, 2-normun karesi nedir?

— user1271772

3

@ user1271772 Teşekkürler! Doğru anlarsam, önerdiğiniz işlev homojen olmadığı için bir vektör normu bile değildir.

— Federico Poloni

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

öyle pozitif homojen ile neden olmak zorunda mı, ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— user1271772

@ user1271772 tanımda bir gereksinimdir. Vektör normlarının aksiyomlarından biri 2'dir. P (av) = | a | p (v) (kesinlikle homojen veya tamamen ölçeklenebilir) (hızlı başvuru için yukarıda bağladığım Wikipedia sayfasının kontrol edildiğini kontrol edin). Tabii ki, bu sadece totolojik bir argüman "çünkü bu şekilde tanımlandı" ve bir fizikçinin daha fiziksel bir sebep isteyebileceğini anlıyorum.

k = 1

$k=1$

— Federico Poloni

4

Zarif bir argüman , izin verilen dönüşümlerin doğrusal haritalar , ile tanımlanan hangi teorileri oluşturabileceğimizi sorarak türetilebilir. bir norm tarafından verilir ve olasılıklar bu haritalar tarafından korunmalıdır. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Temel olarak sadece üç seçenek olduğu ortaya çıktı:

Deterministik teoriler. O zaman bu vektörlere ihtiyacımız yoktur, çünkü her zaman belirli bir durumdayız, yani vektörler ve benzerleridir ve ler sadece permütasyonlardır. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Klasik olasılık teorileri. Burada normal ve stokastik haritaları kullanıyoruz. olasılıkları vardır. $1$ $v_i$
Kuantum mekaniği. Burada, normal ve birimsel dönüşümleri kullanıyoruz. genlikleri vardır. $2$ $v_i$

Tek olasılıklar bunlar. Diğer normlar için ilginç dönüşümler yoktur.

Bunun daha ayrıntılı ve güzel bir açıklamasını istiyorsanız, Scott Aaronson'un "Demokritos'tan beri Kuantum Bilişim" konulu bir dersin yanı sıra bir de ders var .

— Norbert Schuch
kaynak

2

Diğer cevaplar neden hangi boşluğunun kullanacağını, ancak ağırlıklandırmayı ele almadı. $p=2$ $L^p$

İçsel ürünün olması için Hermite pozitif tanımlanmış bir matrisi . Ama bu seni pek kazanmıyor. Bunun nedeni değişkenleri de değiştirebilmenizdir. Kolaylık için, diyagonal olduğunda durumu düşünün . yorumlama olacaktır çapraz durumda ile yerine bir olasılık olarak . neden değişkenleri sadece ? Bunu, her bir noktanın ile ağırlıklandırıldığı nokta uzayda fonksiyonları olarak düşünebilirsiniz . $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

Sürekli 1 değişken durumunda, evet de kullanabilirsiniz. uzunlukları tekrar sarar. Hâlâ mükemmel bir Hilbert alanı. Ancak sorun şu ki, çevirisinin bir simetri olması gerekiyordu ve kırıyor. Bu yüzden kullanamazsınız . Bazı amaçlar için, bu simetri mevcut değildir, bu nedenle sahipsiniz . $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

Bazı durumlarda standart forma geçmemek yararlıdır. Bazı hesaplamaları nasıl yaptığınızı karıştırır. Örneğin, bazı sayısal işlemler yapıyorsanız, makinenizin zor bulduğu çok küçük veya büyük sayıları önlemek için hatalarınızı bu tür bir yeniden karıştırma ile azaltabilirsiniz.

Zor bir şey, değişkenlerinizi ne zaman değiştirdiğinizi ve ne zaman değiştirmediğinizi takip etmenizi sağlamaktır. Standart bir iç ürüne geçiş yapmak için bazı üniter ve değişkenleri geri almak ve bunu bir adımda yapmaya çalışmak arasında kafa karıştırmak istemezsiniz. Yanlışlıkla vb. Faktörlerini düşürmeniz muhtemeldir , bu yüzden dikkatli olun. $\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
kaynak

-1

$n$

$\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

$i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

$i\ne j$

$n$ $n$ $x$ $n$

$\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$ olasılık. Tüm olasılık teorisi yasalarının karşılandığını garanti edebilecek başka bir normunuz varsa, o normu da kullanabilirsiniz.

— user1271772
kaynak

@Nelimee: Sohbet mesajınıza cevap veremiyorum "Cevabınızın puanını 0 oyla alamadım" çünkü 2 gün daha sohbet etmem yasak, ama bu cevabın hangi kısmını alamıyorsunuz?

— user1271772

@Nelimee? Şimdi

— -1'deyim

Yazdıklarınız sadece sonsuz boyutlardaki öklid normudur. İfadende "Burada tanımlanan bir n-boyutlu uzayda Öklid normu, kuantum devletler için kullanılan tek bir norm değildir." yanlış olduğu ölçüde yanıltıcıdır.

— Norbert Schuch

@Norbert. (1) bu, öklid normunun KARE'sidir. (2) burada KESİNLİKLE sonsuzdur. Artık sayılabilen sonsuz n için bile n boyutlu değildir.

— user1271772

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$