Seyrek Hamiltonyalıları simüle etmenin avantajı

@ DaftWullie'nin bu soruya verdiği cevapta , bu makalede örnek olarak kullanılan matrisin kuantum kapıları açısından nasıl temsil edileceğini gösterdi . Ancak, gerçek yaşam örneklerinde bu kadar iyi yapılandırılmış matrislere sahip olmanın pek olası olmadığına inanıyorum, bu nedenle bir Hamiltonyen'i simüle etmek için başka yöntemlere bakmaya çalışıyordum. Birkaç maddelerde bir başvuru bulduk bu bir , diğer şeyler arasında onlar da taklit bazı avantaj mümkün olduğunu ifade ettiği Aharonov ve Ta-Shma tarafından seyrek Hamiltoniyen'in. Ancak makaleyi okuduktan sonra, seyrek hamiltonianların simülasyonunun nasıl gerçekleştirilebileceğini anlamadım. Sorun genellikle grafik renklendirme olarak sunulur, ancak sunuma da bakar @Nelimee'nin matris üssü incelemesini okumayı önerdiğini, bunların hepsi ürün formülüyle silmülasyona düşer.

Örnek vermek için, şöyle rastgele bir matris alalım:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ bu münzevi değil, Harrow, Hassidim ve Lloyd'un önerisini kullanarak, ondan başlayarak bir hermitci matris oluşturabiliriz:

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Şimdi 8x8, 2-seyrek bir münzevi matrisi var:

Evrimini ürün formülü yönteminden başka şekillerde simüle edebilir miyim?
Ürün formülünü kullansam bile, seyrek olduğu gerçeğinden nasıl yararlanabilirim? Bunun nedeni, sıfır olmayan girişlerin daha az olması ve bu nedenle temel kapıların ürününü bulmak daha kolay mıdır?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
kaynak

Seyrek matrisler yararlı olduğunu önerir fikir çizgisinde geçer: herhangi , biz bir dizi açısından bunu ayrıştırmak , tek tek bileşenlerin hepsi gidip (hale diyagonalleştirme basittir), Matris seyrek ise, o zaman çok fazla farklı gerekmez . O zaman Hamilton evrimini simüle edebilirsiniz $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

burada

. Örneğin, sizin durumunuzda,

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(3 seyrek Hamiltonyalı olduğu gerçeğine karşılık gelen 3 terim). Burada bir strateji olduğuna inanıyorum: Hamiltonyanızın sıfır olmayan tüm matris elemanlarını gözden geçiriyor ve gruplandırıyorsunuz, böylece koordinatlarını

olarak

(ve her zaman karmaşık eşlenik çiftlerini dahil edersem) eklemeye devam ederim setimin diğer elemanları

ne de

eşit

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ veya

.. Bu için anlamına geleceğini

Hamiltoniyen'e -sparse şunlara sahip

farklı

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Sorun şu ki, bu pratikte bunu açıkça işe yaramıyor. Birincisi, hala üstesinden gelmeniz gereken birçok matris öğesi var, ancak bu her zaman ayarladığınız şekilde geçerli olacaktır.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
kaynak

Anlamadığım sadece 2 şey: 1) her zaman karmaşık eşlenik çiftleri dahil ettiğinizi söylediğinizde ne demek istiyorsunuz? 2) Kahin tarafından verilen pozisyon bilgisi bize hangi şekilde yardımcı olmalıdır? Ayrıştırılan Hamiltonyan'ı temsil eden birleşme kümelerini belirlememize yardımcı olarak?

— FSic

@ F.Siciliano (2) Kehanetten gelen bilgi yardımcı olur, çünkü hangilerinin sıfır olmadığını bulmak için matrisin her elemanından geçmek yerine sadece matrisin sıfır olmayan unsurları üzerinde çalışmanıza izin verir.

— DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$