Bir kuantum bilgisayarı, Rubik küp grubunun karıştırma süresini kolayca belirleyebilir mi?

Rubik'in küp turnuvalarındaki yetkililer, bir küpü karıştırmanın iki farklı yolunu kullandılar. Halen, birbirlerinden ayrı bir küp kırmak ve rasgele bir sırayla cubies yeniden birleştirmek Rubik küp grubunun . Daha önce, bir rastgele bir dizi geçerli olacak Singmaster hamle .$\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Bununla birlikte, uzunluk sözcüğü - için gerekli rasgele hamle sayısı tam küp karıştırmak her birinin bu permütasyon kabaca eşit oluşma olasılığı olan - halen bilinmemektedir, fakat olmalıdır en az 20 . Bu uzunluk t , Singmaster hamle \ langle U, D, F, B, L, R \ rangle tarafından üretilen Rubik küp grubunun Cayley grafiğinde rastgele bir yürüyüşün karıştırma süresi olarak adlandırılabilir .$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Bir kuantum bilgisayarının Rubik küp grubunun karıştırma süresini t belirlemede herhangi bir avantajı olur $t$mu?

Sanırım tüm \ Vert G \ Vert gibi konfigürasyonlar üzerinde tekdüze bir süperpozisyon olarak bir \ vert A \ rangle kaydı oluşturmak için Hadamard hamlelerinin akıllı bir sırasına sahip olabiliriz ; böylece herhangi bir Singmaster hamlesini \ vert A \ rangle'a uygulamak \ vert A \ rangle'ı değiştirmez . $\vert A \rangle$$\Vert G\Vert$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$

Biz bir tahmin varsa karıştırma süresi ne olduğu , biz de başka kayıt oluşturabilirsiniz uzunluğu tüm Singmaster kelimelerin tek tip süperpozisyon olarak ve şartlı bir çözüldü duruma tür her kelimeyi uygulamak , umarım bir durum elde etmek için , , yapılandırmalarının her birinin eşit şekilde ölçülme olasılığı vardır. Eğer , o zaman yeterince uzun süre Cayley grafiği boyunca yürümek olmaz , ve eğer ölçmek için$t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, çözülen duruma "daha yakın" olan yapılandırmaların daha olasıdır. üzerindeki bazı akıllı Fourier benzeri dönüşümler, eşit olarak dağıtıldığını ölçebilir .$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Bana göre bu kuantum bilgisayarın iyi olabileceği bir şey gibi geliyor. Örneğin, içindeki tüm kelimeler tarafından aynı şekilde karıştırılmamışsa , bazı yapılandırmalar diğerlerinden daha olasıdır, örneğin daha "sabit"; öyle ki, eğer olan tam tümünü karıştırılmış yürür, o daha "dengeli" bir. Ama hem kuantum algoritmaları hem de Markov zincirleri hakkındaki sezgim çok ileri gidecek kadar güçlü değil.$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

DÜZENLE

Bu soruyu kuantum düğümü doğrulama sorunuyla karşılaştırın.

Kuantum düğümü doğrulamasında, bir satıcıya belirli bir değişmezi olan tüm düğümlerin durumu olarak bir kuantum parası verilir . Kuantum sikke doğrulamak için, o bir Markov zinciri uygular geçiş için kendisi (geçerli bir sikke buysa.) O bu Markov zinciri uygulamak ve en azından sonucunu ölçmek gerekir süreleri, ancak aksi takdirde o vardır kendi başına inşa etmenin bir yolu yok (madeni parayı dövebilseydi.) Bu yüzden geçerli bir jeton verildiyse , kendi başına üretemeyeceği, Markov zinciri olarak matris , ve o muhtemelen karıştırma süresi bilir$\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; geçerli olduğunu test etmesi gerekiyor .$\vert K \rangle$

Bu soruda, tüm Rubik küp permütasyonlarının oluşturmak muhtemelen oldukça kolaydır . Markov zincirine tekabül kuantum devre, bu çağrı , Singmaster hamle, yapı muhtemelen oldukça kolay da. Ancak, karıştırma süresi bilinmemektedir ve belirlenecek tek şey budur.$\vert RC \rangle$$S$$t$

"X için bir kuantum algoritması var mı?" sorular. Mevcut bir kuantum algoritmasını bilmiyorum. Tipik bir ilk girişim olacağını düşündüğüm şeyi ve neden başarısız olduğunu açıklayayım. Sonunda bazı iyileştirmelere yol açabilecek birkaç şeyi anlatacağım.

Bir Algoritmada İlk Deneme

Diyelim ki belirli bir karıştırma süresini test etmek istiyorum . Bir kayıt oluşturacağım, , Rubik küpünün olası yapılandırmalarından herhangi birini tutmak için yeterli çalışma alanı içeriyor. Bunun başlangıç ​​durumu, küpün başlangıç ​​durumuna karşılık gelen bir ürün durumudur.$t$$RC$

Sonra yapacağım ancilla kayıtlarını, için . Bunların her biri, olası Singmaster hareketlerinin sayısıyla aynı boyuttadır ve olası tüm temel unsurlar arasında tekdüze bir üst üste binme olarak hazırlanmıştır. Sonra her biri için biz bir kontrollü üniter uygulamak için nerede kayıt Singmaster hareket uygulanır belirtir .$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Tüm bunlardan sonra, sadece bakarsak , karıştırma istendiği gibi gerçekleşirse, maksimum karışık durumda olmalıdır. Sorun, bu çıkışın maksimum karışık durum olup olmadığını test etmektir. Orada gibi kullanışlı teknikler bu bir , ama ne doğruluk biz gerektirir (yani ne kadar çok tekrar?). Emin olmak için hakkında ihtiyacımız olacak.$RC$$|A|^t$

Aslında, şeyler yapmanın yolu tam bir kötü olarak klasik yapıyor gibidir: Eğer her birinin başlangıç durumunu değiştirmek olabilir ile ve sonucunu değiştirmek olmaz . Ancak bu, her seferinde rastgele bir seçim yapmak ve birçok kez çalıştırmak, doğru çıkış dağılımını kontrol etmek gibidir.$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Olası İyileştirmeler

• Açıklanan olarak çalışan, çıkışı yoğunluğu matris (ilgili ) diyagonal olmalıdır. Bu, tüm temel durumlar üzerinde tekdüze üst üste binme , yalnızca sistem maksimum düzeyde karıştırılmışsa ve bir özdönem olduğu anlamına gelir . Hafif bir hızlanma elde etmek için bu gözlemi bir çeşit genlik amplifikasyonu ile birleştirebilseydim. Not gelen çok hızlı bir fark kurar devlet bir özvektör değilse.$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Bunun dışında, ancilla kayıtları ile muhtemelen daha akıllıca bir şeyler yapmanız gerekiyor. Bunun mümkün olabileceğine dair bazı umutlar var, çünkü Rubik küpünde yerleşik birçok grup yapısı var. Denemek diye bir şey tamamının yerini alamayacağını görmektir , tek bir kayıt ile ancilla kayıtlarını kontrollü unitaries her turda aradaki sicil her QuBit üzerinde Hadmard kapıları geçerlidir. Bunun tek nedeni, orijinal önerime kıyasla kubit sayısı açısından size bir verimlilik tasarrufu sağlamak olabilir. Bunu bile yapamayabilir.$t$

Bunlardan herhangi biri doğrudan çalışıyor olsun, bilmiyorum. Yine de, anahtar ilkelerin bazı yararlı grup yapıları bulmak ve genlik amplifikasyonunun uygulanabileceği bir yol bulmak olduğunu düşünüyorum.

Üniter tasarımları okumak yararlı olabilir . Bu kesinlikle burada bahsettiğimiz şeyden farklı bir sorundur, ancak bazı teknik araçlar yararlı olabilir. Kabaca bir fikir unitaries bir dizi olduğunu olan bir grafik tasarım bu unitaries rasgele uygulama bir çıkış fonksiyonlarına (Haar ölçü alınmıştır) gerçekten rasgele yekpare simüle izin verirse genişlediğinde olan kullanılarak Taylor serisi, derecesine kadar doğrudur . Burada yaklaşık bağlantısı bir dizisini temsil eden unitaries alırsak olmasıdır olarak hareket Singmaster bu set 2 tasarım olsaydı olsun, bu (yeterli olacaktır$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ doğru, işiniz bitti).

(Tekrarlardan kendi kendine cevap vermekten kaçınma)

Orada belki iki taraf değerine daraltmak için etkileşimli bir yol olabilir DaftWullie cevabı ve @Steven Sagona yorumlarına @ takip etmek. Formalizmim zayıf, ama umarım bu fikir biter ...$t$

Örneğin, iki tarafa Alice ve Bob deyin. Taraflar, protokole göre işbirliği yapmalı ve dürüst davranmalıdır.

Alice iki durumu nasıl hazırlayacağını bilir: ve . Burada , tüm Rubik küp kombinasyonları üzerinde tekdüze bir üst üste binme ve , aynı sayıda kubite sahip başka bir maymun durumudur (çözülmüş bir Rubik küpüne karşılık gelen durum veya tekdüze bir üst üste binme gibi) bazı büyük alt gruplarına göre ). Bob , bir matrisini kuantum duruma nasıl uygulayacağını bilir ; burada , tüm Singmaster hareketlerinin tek adımına karşılık gelir (uygun olduğunda yardımcılar ile).$\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Alice ve Bob karıştırma süresi göstermek istiyoruz Singmaster hamle altında Rubik küp grubunun en fazla olduğu . Alice ve Bob aşağıdaki tekrarlamak kez.$t$$r$$s$

1. Alice jeton çevirir ve sağlar$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob tekrarlar uygulamak kez için ve önlemler projektör her seferinde.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Projektör yinelemelerinin her biri için ise , Bob olduğunu söyler . Projektör yinelemelerinden en az biri için değilse , Bob Alice'in olduğunu söyler .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Eğer , daha sonra Bob her değişmez Adım 2'de yineleme - tanım gereği için Bob matrisinin bir özdurumu ve Bob matris sadece kendi aralarında durumları değiştirir. Eğer ardından maymun devlet olduğu değil Bob'un projektör bir özdurumu ve o şansı ölçülemez olacak hızla büyür . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Bob doğru tahmin eğer Böylece, için tekrarlamalar, başarı olasılığı ile katlanarak büyür ve Bob'un bir maymun durumundan geçerli bir Rubik küp durumunu ayırt etmek büyük yeterlidir.$i$$s$$s$$r$

Bilmiyorum ne kadar ayrı alınması zorunludur . Etkileşimin kaldırılıp kaldırılamayacağını da bilmiyorum.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Başlangıçta bazı kayıt ve operatörleri ele alalım.

1. Küp durumlarının üst üste binmelerini kodlayan kaydı (ör. küpünün permütasyonu );$\vert A\rangle$$G$
2. All-0'ın ket üzerinde hareket eden operatörü , tüm durumları üzerindeki düzgün süperpozisyona ;$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. Yazmaç , Singmaster hareket, bir dizi üst üste yerleştirilen belirli bir pozisyonda uygulanacak Singmaster kelimelerin (örneğin, üst üste yerleştirilen kodlayan ) uzunluğundaki hareketler ;$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. Tüm-0'ın ket üzerinde hareket eden ve operatörleri , Singmaster uzunluğundaki tüm kelimelerinin tekdüze üst üste binmesine eşleme yapar (ve tersi); ve$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. Singmaster hareketini verilen bir küp konumuna uygulayan (kontrollü) operatör$W$$b$

Eğer isimli tüm elemanları üzerinde muntazam üst üste de , daha sonra isimli bir bölgesinin özdurumu olarak ve tekrar tekrar uygulanması etkileyen geri tekme olmayacak .$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

Diğer bir deyişle, döndürmelidir her sıfır ket yukarıdaki devre .$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

Ancak , @DaftWullie tarafından belirtildiği gibi, eğer olduğu değil bir özdurumu içinde, aralarında daha sonra fark ve kurar çok hızlı - Bir hız inanıyoruz hangi bu fark birikir, tam olarak ilgili operatörün karıştırma özelliklerine bağlıdır .$\vert u\rangle$$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

Bu nedenle, bir durum hazırlamak mümkün olup olmadığını olduğu tedirgin düzgün dağılımından, öyle ki isimli olmayan bir özdurumu, daha sonra tekrarlanan uygulamalar olacak hızlı bir fark ve inşa tamamen sıfır ket olmayabilir.$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

Bir fonksiyonu olsaydı hareket eden ve bir yanıt qubit , diyelim ki, bir karma belirler bu Rubik küp pozisyonunun az bir eşikten bir ve bu kullanma bir dönüşünü kontrol etmek için , o inanmak bu içinde yukarıda devre olacak değil tüm sıfırları ket okumak ve yerine muhtemelen tüm sıfır sadece bağlı bir şekilde ket sapacaktır ve Singmaster jeneratör seti ile Rubik küp grubunun karıştırma süresi.$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

Yani, yukarıdaki devrede ölçümünün veya benzeri bir şey , burada ilk indeksi sadece karıştırma süresine ve eşiğine bağlıdır .$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$