Konvolüsyon için Kuantum Algoritmaları

Makine öğrenimi için Quantum Computing uygulamalarına bakıyordum ve 2003'teki aşağıdaki ön baskı ile karşılaştım. Kuantum Konvolüsyon ve Korelasyon Algoritmaları Fiziksel Olarak İmkansız . Makale herhangi bir dergide yayınlanmış gibi görünmüyor, ancak birkaç düzine kez alıntı yapıldı.

Makale yazarı, kuantum durumlar üzerinde kesikli evrişim hesaplamanın imkansız olduğunu ortaya koymaktadır. Sezgisel olarak bu benim için yanlış görünüyor, çünkü kuantum matris çarpımı yapabileceğimizi biliyorum ve ayrık evrişimin bir Toeplitz (veya sirkülasyon) matrisi ile çarpma olarak çerçevelenebileceğini biliyorum.

Argümanın temel noktası, iki vektörün elementsel (Hadamard) ürünü için üniter operatörlerin gerçekleştirilebilir bir bileşimi olmadığı gibi görünüyor.

Bağlantım nerede? Bir kuantum bilgisayarında ayrık evrişim için genel olarak bir Toeplitz matrisi oluşturamamamız için herhangi bir neden var mı?

Yoksa makale sadece yanlış mı? Yazarın Lemma 14'ün kanıtında sunduğu çelişki üzerinde çalıştım ve bana mantıklı geliyor.

Giriş sinyalleriniz belirli bir yapıya sahipse, kuantum bilgisayarda (ve bu konu için katlanarak daha hızlı) aslında kıvrım gerçekleştirebilirsiniz. Ancak genel girdiler için, bu zorlayıcı ve hatta fiziksel olarak imkansız görünüyor, bu da makalenin tartıştığı gibi görünüyor.

İki ayrık sinyalin evrişimini nasıl hesaplayacağınızı düşünün $f$ ve $g$Klasik. Her iki sinyalin Fourier dönüşümünü alabilir, ortaya çıkan vektörlerin noktadan çarpımını yapabilir ve ardından ters bir Fourier dönüşümü yapabilirsiniz:

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

Fourier dönüşümünün bir kuantum bilgisayarda çok ucuz bir işlem olduğunu unutmayın. Bu harika görünüyor. Sorun, iki vektörün noktadan çarpılmasının o kadar kolay olmamasıdır. Bunu hangi faktörlerin belirlediğine bakalım.

Şanslı olduğumuzu ve Fourier spektrumunun $f$ düz olduğu ortaya çıkıyor:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

Bu durumda, kuantum bilgisayarınız size nokta çarpımını veren çapraz bir matris işlemi yapabilir:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

Bununla birlikte, iki vektörün noktasal çoğalmasını bulan kuantum algoritmaları genel durumda fiziksel olarak imkansız olabilir. Bunun nedeni, bu operasyonun genel olarak üniter olmamasıdır. Basit bir örnek olarak, Fourier dönüşümünün$f$ çoğu yerde sıfırlar bulunan dikenli bir işlevdir:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ Bu durumun başka bir durumla noktasal olarak çarpımı tersine çevrilemez (sıfırlar nedeniyle) ve dolayısıyla üniter değildir.

Düz veya neredeyse düz Fourier spektrumu ile sonuçlanan ve bu nedenle kıvrılması kolay fonksiyonları keşfetmek için önceden çalışmalar yapılmıştır:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Sonuçtan çok şüpheliyim. Teorem 16'ya bakarsanız, haritayı gerçekleştiren bir işlem olmadığını iddia eder.

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ normalleşmeye kadar. Ancak, ölçüm operatörünü düşünün $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ Bu istenen haritayı açıkça uygular (söz konusu ölçüm sonucu için). Dahası, uygulanması oldukça basittir. Harita oluşturabilen bir üniter (etkili, genelleştirilmiş bir kontrollü-değil) var $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ daha sonra ikinci döndürmeyi ölçüp 0 sonucunu elde ettikten sonra seçiminizi yapın. Bu makalenin kanıtını geçersiz kılıyor gibi görünüyor.