Kuantum bilgisayar, Kısmi Diferansiyel Denklemleri çözmek için nasıl kullanılır?

12

Çözmek istediğiniz bir PDE'niz olduğunu varsayalım.

Bunu çözmek için ne tür kuantum algoritmaları kullanırdınız? Sorunumuzu bir kuantum bilgisayarına nasıl gireriz? Çıktı ne olacak ve hangi biçimde olacak?

Doğrusal sistemleri çözmek için kuantum algoritmalarının (genellikle HHL olarak adlandırılır, ancak diğer sürümlerin HHL yazarlarından olmadığı için aslında kötü bir isim olduğunu) daha önce listelediğini biliyorum, ancak belki de başka yöntemler var. Ayrıca bir altyordam olarak kabul edildiğinden, çıktı kuantumdur ve ondan istatistik istemiyorsanız veya başka bir kuantum algoritmasının bir girdisi olarak kullanmazsanız, sınırlayıcıdır.

algorithm

— cnada
kaynak

PDE'nizin ne kadar genel olmasını istiyorsunuz? Doğrusal mı?

— AHusain

Aklınızda farklı PDE kurulumları varsa, her biri için bilmek istiyorum. İlk önce doğrusal deyin çünkü doğrusal olmayan yapmanın zor olduğunu düşünüyorum.

— cnada

6

Sorunuza kesin bir cevabım yok (eğer gerçekten varsa); ancak I / O ile ilgili sorunuzun bir kısmını bir kuantum işlemciye cevaplayabilirim.

Genel bir kural olarak; Kuantum Algoritmaları (şu anda) problem ifadelerine doğrudan cevap veremez. En azından şimdilik, kuantum işlemciler klasik bir hesaplama ünitesine sahip heterojen hızlandırıcılar olarak var. 'Kuantum hızlandırıcı', genel algoritmanın klasik bir bilgisayarda çözülmesi önemsiz olmayan (veya karmaşık olarak üstel olmayan) kısmı ile ilgilidir. Sonunda, kuantum işlemcide programın sadece bir alt kısmı hesaplanır. (Örn. Shor'un Faktoring Algoritması aslında bir dönem bulma algoritmasıdır. Dönem bulma önemsiz bir görevdir.)

Diğer bazı nedenlerin yanı sıra, ana problemler bir kuantum işlemci ile giriş ve çıkış işlemidir. Sorun 'özlü bir biçimde ifade edilebilir olmalıdır (örneğin bir denklem). Bu denklem 'oracle' de kuantum devre olarak ifade edilir ve bu öncelikle denklemin çözülmesiyle ilgilidir ve ölçüm sonuçları kaydedilir (tomografi). Çıktının da gerçekten mantıklı olması için post-proses işlemeye ihtiyacı var (yine klasik meslektaşı tarafından gerçekleştirilir).

ps Ben PDE çözme kuantum algoritmaları hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorum; eğer verimli bir tane varsa.

— viliyar
kaynak

"Genel" bakış açısını anlıyorum. PDE çözmeyi bir kuantum bilgisayarda nasıl modellediğimi önemsiz değil. Bu HHL'de doğrudandır, çünkü ayrıklaştırma yaptığınızda probleminiz Ax = f doğrusal bir sistem olarak ifade edilebilir. F'nizi sadece bir kuantum durumu (ilk girdiniz) olarak ifade edersiniz, örneğin faz tahmini için (ikinci giriş) Hermitian formunda ve kontrollü rotasyon ve hesaplama kullanan alt rutini kullanarak (en azından HHL'nin orijinal sürümü için) ) bir kuantum durumu olarak çıktınız var.

— cnada

Hilbert uzayının üstel boyutsallığını dalga fonksiyonunun olasılık genliklerinde kodlamak için kullandığınız için bu, sorunun boyutunda bir şekilde etkili hale gelir.

— cnada

Ama PDE'ler için başka yollar / algoritmalar olup olmadığını merak ediyorum.

— cnada

4

D-dalgası kuantum yıllık kullanarak diferansiyel denklemleri çözmek için bir yaklaşımla karşılaştım. Bağlantı burada: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Temel yöntem diferansiyel denklem için fonksiyonel enerjiyi türetmektir ki bu daha sonra bir kuantum yıllık üzerinde minimize edilir. Minimizasyon, enerjiyi D dalgası makinesinin yerelleştirilmiş bir alt grafiğine eşlemek için sonlu eleman temeli kullanabilir.

Bunun klasik algoritmaya göre avantajı, bir denklem sistemi oluşturmaya bile gerek olmamasıdır, bu nedenle bellek tasarrufu vardır ve doğrusal bir sistemin montaj maliyetinden kaçınır. Ancak çözüm karmaşıklığı klasik eşlenik gradyan yöntemiyle aynıdır: . Öte yandan HHL algoritması üstel bir hız verebilir, ancak dediğin gibi doğrudan çözümü vermez, ayrıca lineer sistemi ilk etapta birleştirmemiz gerekir. $\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
kaynak

1

Merhaba Jeremy! Göre bu iplik ve diğer araştırma kağıtları, eşlenik gradyan yöntemi değildir değil ile matrisin kıtlık ve durum numarası.

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$

— Nelimee