Temel kapılardan çok-kubit kontrollü-Z nasıl inşa edilir?

Belirli bir kuantum algoritmasının uygulanması için, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, bir dizi temel kapıdan bir çoklu-kübit (bu durumda, üç-kubit) kontrollü-Z kapısı inşa etmem gerekir. .

Kullanabileceğim kapılar

• Pauli kapıları $\rm X, Y, Z$ ve tüm güçleri (yani bir faz faktörüne kadar tüm Pauli dönüşleri),
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (etrafında dönme $|11\rangle\langle11|$ projektör),
• $\rm H$ (Hadamard),
• $\rm C_X$ (tek-kubit kontrollü-X veya CNOT),
• $\rm C_Z$ (tek-kubit kontrollü-Z) ve
• $\rm S$ (Takas).

Bu üç-kubit kontrollü-Z'yi bu kapılardan nasıl inşa edebilirim? Devre ayrışmaları hakkında birkaç makale okudum, ancak hiçbiri bana açık ve özlü bir cevap veremedi.

(EDIT: 14 CNOT'a geliştirildi.)

14 CNOT, artı 15 tek-kübit Z rotasyonu ve yardımcı kübit ile yapılabilir.

İlgili devre

nerede $\fbox{$\pm$}$ kapılar dönme

derivasyon:

Tarif edilen prosedür kullanılarak https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , herhangi bir çapraz kapı - bir böylece, özellikle CCCZ kapı - örneğin CNOTs açısından ve tek qubit diyagonal kapıları ayrıştırılabilir CNOT'lar klasik bir optimizasyon prosedürü izlenerek kendi başlarına optimize edilebilir.

Referans, keyfi diyagonal 4-kubit kapıları için 16 CNOT kullanan bir devre sağlar (Şekil 4).

Bu, keyfi kubit çiftleri 14 kubite bağlanabilirse geliştirilebilir. Periyodik (açık) sınır koşullarına sahip en yakın komşular için, bu 16 (18) CNOT ile yapılabilir. Karşılık gelen devreleri bulunabilir https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Şek. 5.2, 5.4 ve 5.5, ve kısa gri dizileri oluşturmak için yöntemleri kullanılarak, örneğin elde edilebilir.

Tek kubit kapılarının sayısı her zaman 15'tir.

Not: Prensip olarak daha basit bir devre olsa da (bahsedilen devre, daha kısıtlı bir devre mimarisi göz önünde bulundurularak optimize edilmiştir), optimale yakın olmalıdır - devre, formun tüm durumlarını oluşturmalıdır $\bigoplus_{i\in I}x_i$ önemsiz olmayan alt kümeler için $I\subset\{1,2,3,4\}$ve 4 kubit için 15 tane var.

Ayrıca, bu konstrüksiyonun hiçbir şekilde optimal olması gerekmediğine dikkat edin.

^{1 Not: Ben bir yazarım}

Bir uygulayabilirsiniz $n$- qubit kontrollü $U$bu cevapta verilen devre ile . Sadece değiştirin$U$ tarafından $Z$. Bununla birlikte, bu CCNOT (Toffoli) kapılarını gerektirir ve temel kapıları kullanarak CCNOT'u nasıl uygulayacağınız için bazı seçenekleriniz vardır .

İşte 29 kapı kullanan bir CCCZ yapısı :

Ölçüm ve klasik ileri beslemeyi kullanma izniniz varsa , kapı sayısı 25'e düşürülebilir :

(Hadamard kapıları, kapı seti kısıtlamasını karşılamak için gerekirse Y'nin kare kökleri ile değiştirilebilir.)

Ve eğer Kontrollü S kapıları ve Kontrollü sqrt (X) kapıları yapmama ve X bazında ölçümler yapmama izin verirseniz, toplamda 10 kapıya kadar alabilirim :

CCCZ'yi derlemeye çalışan herkes için yararlı olması durumunda burada CCCZ'nin başka bir ayrışmasını yayınlıyorum. Daha az sayıda toplam kapı ve 2 yerine sadece 1 yardımcı kubit gerektirir, ancak "açık" cevaptan beş beş kubit kapı daha gerektirir, bu yüzden Donanımda uygulama için aslında daha kötü olabilir.

Bu yorumda @Rob kullanıcısı tarafından önerildi: Kuantum devrelerinin otomatik derlenmesi ve bu makaleden geliyor .

GMS5$(\chi)$ kapı şudur:

ile $n=5$ ve tüm $\chi_{ij}=\chi$yani 10 adet iki katlı kapı içerir. Bunlar daha sonra soruda verilen geçit kümesine derlenmelidir, bu nedenle bu ayrışma yalnızca yardımcı kubitlerden tasarruf etmeye çalışıyorsanız veya daha fazla 2-kubit kapıya sahip olmak için sakıncası yoksa kullanılmalıdır. devre derinliğini biraz azaltın.

Belirtilen kapı setine göre yapılabilecek bazı büyük tasarruflar vardır. Örneğin, tipik ccnot yapısında,$T$ kapı $Z^{1/4}$, iki kontrol kubiti arasındaki son birkaç geçidi oluşturan faz düzeltmesine ihtiyacınız yoktur. Soruda belirtilen kapı setine uyan bu yapı, 10'u 2-kubit olan 21 kapıdan oluşmaktadır (aşağıdaki devrede son kapıya ihtiyacınız yoktur).

Açık olmak gerekirse (birkaç yoruma yanıt olarak): genellikle Toffoli'ye bakarız ve bunu kullanarak $T$kapı. Her iki kontrol de$|1\rangle$, sonra hedef kubit üzerindeki geçit sırası $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$. Şimdi,$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$, ardından sıra basitleşir $-iHT^4H=-iX$ve biri iki kontrol kubitine bir dengeleyici kontrollü S geçidi eklemelidir. Bunun yerine,$Z^{1/4}$, sonra $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$ve bu sinir bozucu evrelerin hiçbiri onun içine girmez ve size iki-kubit kapılardan tasarruf etmenizi sağlar!

Ayrıca, iki Toffoli geçidinin sadece Toffoli olduğunu unutmayın, çünkü 0 durumunu hedeflerler. Tipik olarak ekstra iki kubitli bir kapıya ihtiyacınız olacaktır.

Mevcut literatürde verimli bir inşaat bulamadım, ancak bu makalede sadece 11 2-qubit kapı kullanan bir inşaat iddia ediliyor, ancak sorunun kısıtlı kapı setine dönüştürüldükten sonra tam bir kapı sayısı yapmadım.

Diğer cevabım en açık "ders kitabı" yolu ( Nielsen & Chaung'un CCCZ ayrışmasını CCNOT'lara kullanarak , daha sonra CCNOT'ları derlemek için başka bir ders kitabı ayrıştırma yöntemini kullanarak ) olsa da, daha yaratıcı bir yol işi daha az kapı ile yapmamıza izin verebilir.

Aşama 1:

Nielsen & Chuang'ın devresindeki tüm CNOT'ları bu gadget ile değiştirin:

Adım 2:

Şimdi CCNOT yerine bir sürü CCZ var ve bunlar şu şekilde ayrıştırılabilir ( bu makalenin izniyle ):

Aşama 3:

Bunu not et $H^2 = I$, bu Hadamard'lardan bazıları birbirini iptal ediyor ve daha da fazla indirim alıyoruz :)