Clifford devresinin dengeleyici tablosunun tersi için basit bir kural var mı?

Gelen Sabitleyici Devrelerin Geliştirilmiş Simülasyon Aaronson ve Gottesman göre, bir tablo bir Clifford devresi bunların üzerine etki eden şekilde eşleştirilmemektedir olan Pauli tensör ürünleri X ve her QuBit gözlenebilir Z tarif hesaplamak nasıl açıklanmaktadır.

İşte bir Clifford devresi örneği:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Ve her bir kubitin X ve Z gözlemlenebilirlerine nasıl etki ettiğini açıklayan tablo:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Tablonun her sütunu, devrenin her bir kubitin X gözlemlenebilir (sütunun sol yarısı) ve Z gözlemlenebilir (sütunun sağ yarısı) üzerinde nasıl hareket ettiğini açıklar. Örneğin, sütun 3'ün sol tarafı Z, Z, _, X olup, devrenin sağ tarafındaki bir X3 işlemi (qubit 3'te Pauli X), soldaki Z1 * Z2 * X4 işlemine eşdeğerdir devrenin tarafı. 'İşaret' satırı ürünün işaretini gösterir; bu, bir ölçümü simüle edecekseniz önemlidir (sonucu tersine çevirip çevirmeyeceğinizi söyler).

Bir devrenin tersi için de tabloyu hesaplayabilirsiniz. Verdiğim örnek durumda, ters tablo şudur:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Satırlarını ve sütunlarını aktarırsanız tablolar hemen hemen aynı görünür . Ancak girişler tam olarak aynı değildir. Transpozisyona ek olarak, harfleri bitlere kodlamanız ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) sonra orta bitleri değiştirip kodunu çözmeniz gerekir. Örneğin, ZZ 1010'a kodlar ve bu kod Y_ olarak kodlanan 1100'e geçer.

Benim sorum şu: Ters tablonun işaretlerini hesaplamak için de basit bir kural var mı?

Şu anda bu tabloları devrelere ayırarak, devreleri tersine çevirip, sonra tekrar bir araya getirerek tersine çeviriyorum. Transpose + replace'e kıyasla son derece verimsiz, ancak transpose + replace kullanacaksam bir işaret kuralına ihtiyacım var.

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
kaynak

Soruyu açıklığa kavuşturmak için: Clifford devresi . Daha sonra 'sütununun okunması, kullanılan sol veya sağ yarıya bağlı olarak ve . Ve bu veriler yerine ve .

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

— AHusain

@AHusain Doğru.

— Craig Gidney

Soruyu açıklığa kavuşturmak için: Clifford devrenizdeki @ s ne anlama geliyor?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Bunlar kontroller. İki bağlandığında, bu bir CZ kapısıdır. X'e bağlı @, kontrollü bir X'dir. @ Y'ye bağlı bir kontrollü Y'dir.

— Craig Gidney

Yanıtlar:

Aaronson'un (ve Gottesman) sadece kübitler için değil, yalnızca tamamen Clifford devreleri ( yani en fazla bir terminal ölçümü) için iyi çalışan keyfi sonlu boyuttaki quadler için çalışan tableau temsili ile çok yakından ilgili bir temsil var .

Bu alternatif gösterimde, tek-qubit X ve Z operatörlerinin normal gösterimde olduğu gibi faz bilgileriyle nasıl dönüştüğünü açıklayan bir tablo vardır. Sütunlar, özellikle Pauli operatörlerinin özel bir alt kümesi olan multi-qubit Weyl operatörlerini açıklar. Bunu yapmanın avantajı, tablonun sadece bir dizi katsayı değil, aynı zamanda Weyl operatörlerini ve fazlarını temsil eden vektörler üzerinde gerçek bir doğrusal operatör olmasıdır.

Küçük bir av var. Qubits için bu vektörler, modulo 2'den ziyade modulo 4 tamsayıları (Weyl operatörleri tarafından önemsiz tek kubit Pauli operatörlerinin bir çift kapağına karşılık gelen) olan katsayılara sahiptir. kendi sonucum olduğu için biraz önyargılı olabilir [ arXiv: 1102.3354 ]. Bununla birlikte, bir şekilde 'doğal olarak ortaya çıkan' bir temsil gibi görünüyor: Appleby, tek kubit veya qudit özel vakayı biraz daha erken geliştirdi [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (iki yıl geçmeden önce gerçekten bilmek istediğim bir şey esasen aynı sözleşmeleri gereksiz yere yeniden yaratmak).

'Tablo' gerçeği sayesinde, bu tür bir temsilini kullanarak bir Clifford devresi gerçek bir matris artık (ve bir ters çevrilebilir bir) dönüşümleri vektörler, ters devresi için tablo daha sonra ters . Dolayısıyla, en azından bu yakından ilişkili gösterim için, ters devre için tabloyu hesaplama kuralı kolaydır. $M_C$ $C$ $C^{\dagger}$ $M_C^{-1}$

— Niel de Beaudrap
kaynak

Weyl operatörlerini açıklayan slaytlara veya ders notlarına bağlantı verebilir misiniz?

— Craig Gidney

Bu herhangi bir şekilde ürün vektörlerini izlerken "Pauli temeli" {I, X, Y, Z} ile "kuaterniyon temeli" {I, iX, iY, iZ} ile değiştirmekle ilgili mi?

— Craig Gidney

Qubits bahsederken Tahminen, orijinal kağıt şudur biri

— DaftWullie

Weyl operatörleri ile ilgili bazı iyi slaytlar bulmaya çalışacağım (kendim hakkında önemli bir şeyim yok). N-qubit durumunda, iki vektör için . Bu tanımın motivasyonu s. Bağlantılı yazımın 2'si, Lemma 4'e yol açar. Bu, fazlar için ikinci dereceden mod 2'yi toplayarak, mod 4 (ve Clifford devreleri yaparken lineer cebir mod 4) 'den başka bir şey kullanmadan stabilizatör grupları hakkında akla izin verir.

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie: Hayır, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] kesinlikle farklı. X ve Z'nin güçlerini, GF (4) 'ün ilave grup yapısına yansıyan mod 2 vektörleri (Denk. 2'den önceki metne bakınız) ile indeksler. S.8'deki semptomatik dönüşümlerle ilgili gözlemleri bu nedenle Pauli grubu modulo fazları için geçerlidir. Appleby ve ben, Pauli grubu için kubitleri süslü temsil eden ilk kişi olduklarını iddia etmiyoruz: mesele, temsilimizin aşamaları daha zarif bir şekilde izlemesi. Bu, QECC'leri keşfetmek için daha az önemlidir, ancak devletleri simüle etmek için çok önemlidir.

— Niel de Beaudrap

Aaronson ve Gottesman'ın tekniklerini biraz daha açık bir şekilde çizmek için: her dengeleyiciyi uzunluğunda bir bit dizesi olarak ayarlayabilirsiniz ( qubit için). İlk bitleri Z işleçlerinin konumlarını belirtir ve ikinci kümesi işleçlerinin konumlarını belirtir (bu nedenle, için ). Dört qubit üzerindeki devreniz için, bir Clifford devresine (bazı fazlara kadar) bağlı dönüşüm, matris tarafından verilecektir . Bunu bir blok matrisi olarak düşünebiliriz burada her bir blok $2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$ . Stabilizatörler işe gidip geldiklerinde, modulo 2'nin tersini bulmak istiyorsunuz. Tersi için talep ettiğiniz form (sanırım) matrisinin tersini ilginç bir şekilde hatırlatır (ancak blok matrisler için yeterli değildir. Blok şeklinde bir ters var ama bu çok yararlı değil bence).

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

Tabii ki karmaşa, aşamaları takip etmekten geliyor. Sanırım işaretler her dengeleyicideki Y operatörünün sayısındaki değişiklikle ilgili olacak, ancak birleşik bir tedavide başarılı olamadım. Niel'ın cevabı muhtemelen ona otomatik olarak bakmak için daha iyi bir iş çıkarır.

— DaftWullie
kaynak