Üniter matrislere yaklaşma

Şu anda mümkün olan daha az kuantum geçidi ile iyi bir hassasiyete yaklaşmak istediğim 2 üniter matrisim var.

Benim durumumda iki matris:

• NOT geçidinin kare kökü (küresel bir faza kadar) $$G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$$
• $$W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$$

Sorum şu:

Bu spesifik matrislere mümkün olan daha az kuantum geçidi ve iyi bir hassasiyetle nasıl yaklaşabilirim?

Bir kutuya sahip olmak istediğim şey:

1. Birkaç gün / hafta CPU zamanı ve çok fazla RAM kullanmayı göze alabilirim .
2. Matematiksel numaralar aramak için 1 veya 2 insan günü geçirmeyi göze alabilirim (son çare, bu yüzden önce burada soruyorum). Bu zaman, ilk nokta için kullanılan varsayımsal algoritmaları uygulamam gereken zamanı içermiyor.
3. Ayrışmanın neredeyse kesin olmasını istiyorum. Şu anda hedef hassasiyetim yok, ancak yukarıdaki 2 kapı devrem tarafından yaygın olarak kullanılıyor ve hataların çok fazla birikmesini istemiyorum.
4. Ayrıştırmanın mümkün olan en az kuantum geçidini kullanmasını istiyorum. Bu nokta şimdilik ikincil.
5. İyi bir yöntem, kuantum kapılarının sayısı ile yaklaşık hassasiyet arasında istediğim dengeyi seçmeme izin verir. Bu mümkün değilse, en azından bir doğruluk $10^{-6}$ gerekli (Ben emin bu eşiğin değilim bu yüzden daha önce de söylediğim gibi ben tahminleri yok) (iz norm açısından) muhtemelen.
6. Kapı seti: $$\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$$ ile$R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ tarif edildiği gibiAra,$R_A$balta göre dönmeye$A$($A$ya da bir$X$,$Y$ya da$Z$ve benzeri) $$\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ .

Bildiğim yöntemler:

1. Solovay-Kitaev algoritması. Bu algoritmanın bir uygulaması var ve zaten birkaç üniter matris üzerinde test ettim. Algoritma oldukça uzun sekanslar oluşturur ve [kuantum kapılarının sayısı] VS [yaklaşık hassasiyetin kesinliği] ödünleşimi yeterli parametreli değildir. Yine de, bu kapılarda algoritmayı yürüteceğim ve elde ettiğim sonuçlarla bu soruyu düzenleyeceğim.
2. 1-qubit gate yaklaşımı ve n-qubit gate yaklaşımı üzerine iki makale . Ayrıca bu algoritmaları test etmem gerekiyor.

EDIT: "değil kare kök" daha belirgin hale getirmek için soruyu düzenledi.

Uygulamak için iki basit matris seçtiniz.

İlk işlem (G), X kapısının sadece kare köküdür (küresel faza kadar):

$R_X(\pi/2)$

İkinci işlem (W), başka bir kimlik matrisinin orta 2x2 bloğundaki bir Hadamard matrisidir. Bu 2x2 ortadaki düzeni her gördüğünüzde "CNOT'lar tarafından konjuge edilmiş kontrollü çalışma" düşünmelisiniz. Ve tam olarak burada çalışan şey (not: çizgileri değiştirmeniz gerekebilir; endianness sözleşmenize bağlıdır):

Tek gerçek sorun, kontrollü bir Hadamard operasyonunun nasıl uygulanacağıdır. Bir Hadamard, X + Z ekseni çevresinde 180 derecelik bir dönüştür. X + Z eksenini X eksenine taşımak için Y ekseni etrafında 45 derecelik bir dönüş kullanabilir, ardından CH yerine bir CNOT yapabilir, ardından ekseni geri taşıyabilirsiniz:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

$W$$W \in O(4)$$CNOTs$

Yapı, iki CNOT kapısı ve en fazla 12 tek kubit kapısı (gerçek iki kubit kapısının en genel durumu için) gerektirmesi açısından en uygunudur. İnşaat homomorfizmaya dayanmaktadır:

$M$$M$

Bu yapıyı kullanarak, Vatan ve Williams tarafından verilen tam kapı uygulaması:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$$R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$$B$

Bu kapılardan hiçbiri yaklaşık dizilere ihtiyaç duymaz. Bunları, büyük çaba harcamadan tam olarak belirlediğiniz kapı setleriyle uygulayabilirsiniz.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$$R_Y(\theta)$