Sıfırdan kuantum devreleri nasıl oluşturulur

Şu anda öncelikle kitabı kullanarak kendi kendime çalışıyorum: Eleanor Rieffel ve Wolfgang Polak'ın Kuantum Hesaplaması Nazik Bir Giriş.

Önceki bölümlerden ve alıştırmalardan geçmek oldukça iyi geçti (neyse ki önceki bölümlerde bol miktarda örnek vardı), ancak kuantum devreleri hakkında 5. bölümde takılı kaldım. Yazarların sunduğu kavramları anlasam da, belki de örnek eksikliğinden dolayı, söz konusu kavramları alıştırmalara uygulamakta zorlanıyorum.

Sorun yaşadığım alıştırmalar (ve bir çözüm bulamadığım veya ayrıntılı / tanıtım amaçlı bir açıklama) aşağıdaki gibidir:

$\\$

Sorular:

Oluşturmak için bir devre tasarlayın: den$\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$$\left| 0 \dots 000 \right>$

Ve "Hardy durumu" oluşturmak için bir devre tasarlayın: $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

$\\$

Birisi beni doğru yönde gösterebilir veya bu tür alıştırmaları daha iyi kavrayabilmem için beni bazı edebiyat / öğreticilere yönlendirebilir mi?

$\\$

Belki de ilgili bir soru: Rasgele kuantum halleri üretmek için devreler inşa etmek için ipuçları ve püf noktaları

DaftWullie'nin belirttiği gibi, $W_n$burada mükemmel bir cevap koleksiyonu var .

Hardy devlet sorusu (ve bunun gibi diğer birçok görev) için, ona aşağıdaki gibi yaklaşabilirsiniz.

• İle başlayın $|0...0\rangle$ durum.
• İlk kübiti bir devlet olan "doğru duruma" koyarak başlayın $(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$, nerede $\alpha$ ve $\beta$sırasıyla 0 ve 1 ile başlayan tüm temel durumların göreli ağırlıklarıdır. Özellikle Hardy eyaleti için, iki temel durum 0 ile başlar:$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ ve iki temel durum 1 ile başlar: $\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$; göreli ağırlıkları sadece genliklerinin karelerinin toplamıdır:$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$ ve $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$, sırasıyla. Yani ilk kübiti devlete koymanız gerekecek$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$ kullanma $R_y$ kapı.
• İkinci kübiti doğru duruma getirerek, kontrollü uygulayarak devam edin. $R_y$kontrol olarak ilk kubit ile kapıları. İlk iki terimi doğru yapmak için terimi dönüştürmeniz gerekir$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$ terime $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$, normal durumu dönüştürmekle aynı $|0\rangle \otimes |0\rangle$ içine $\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ devleti etkilemeden $|1\rangle \otimes |0\rangle$ (daha büyük bir ifadenin terimlerinden bağımsız durumlara geçerken renormalizasyona dikkat edin!) Bunu yapmak için 0 kontrollü yapabilirsiniz. $R_y$ birinci kubit kontrol olarak ve ikinci kubit hedef olarak.
• Daha fazla kübitiniz varsa, rotasyonlarınızı daha belirgin hale getirmek için daha fazla kontrol kubiti kullanarak bunu yapmaya devam edeceksiniz.

Daha resmi ve daha az ad hoc bir açıklama istiyorsanız bu makaleyi Shende, Bullock ve Markov tarafından görebilirsiniz .

"Durum üret" sorunlarını üç bölüme ayırarak basitleştirebilirsiniz:

1. Faz veya hangi durumun hangi büyüklüğe sahip olduğu konusunda endişelenmeden ihtiyacınız olan büyüklüklerin toplanmasını hazırlayın.
2. Fazları sabitleyin.
3. Siparişi düzeltin.

Şimdi Hardy durumunu düşünün. Yapmamız gereken büyüklükler nelerdir? Bir örneğine ihtiyacımız var$3/\sqrt{12}$ ve üç örneği $1/\sqrt{12}$. Ayrılmaya devam ettiğimiz "kalan genlik" durumuna sahip olarak bunları teker teker yapabiliriz.

Tek bir durumda tüm genlikle solda bir uyarmayla başlıyoruz, $\ell_0 |1000...00\rangle$ nerede $\ell_0=1$. Yapmak istediğimiz şey, istenen büyüklükleri geride bırakarak uyarımı sağa doğru hareket ettirmektir. Başlamak için büyüklüğün arkasında bırakmak istiyoruz$3/\sqrt{12}$. Bunu kontrollü bir şekilde yapabiliriz$R_y(\theta_0)$kontrolün en soldaki kübit olduğu ve hedefin sadece sağındaki kübit olduğu işlem. İçin doğru değeri seçerek$\theta$, bu devletle sonuçlanacak $3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$. Sonra ikinci kübiti ilk kubite geri götürüyoruz.$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$. Sonra çıkarmak istiyoruz$1/\sqrt{12}$. Başka bir performans sergiliyoruz$R_y$en soldaki kübit tarafından kontrol edilen ve ardından geriye doğru bir CNOT tarafından kontrol edilen, ancak hedefle bu kez soldan üçüncü kubit. Mükemmel olanı seçerek$\theta_1$ devleti üreteceğiz $\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$. Ve bunu, bireysel kübitlerin heyecanla ele aldığı, ihtiyacınız olan tüm genliklere sahip olana kadar yapmaya devam edersiniz.

Şimdi Y dönüşleri tarafından üretilen yanlış fazları düzeltmek istiyorsunuz. Hardy durumu için bu kolaydır, çünkü tüm aşamalar pozitiftir. Genel olarak her bir kubit konumunu hedeflersiniz$k$ bir ile $R_z(\phi_k)$ uygun şekilde seçilmiş operasyon $\phi_k$ ve bu aşamaların doğru olmasını sağlayacaktır.

Şimdi siparişi doğru almak istiyoruz. Bunu yapmanın en kolay yolu, çıkış kubitleriniz olan bazı ekstra kübitlere sahip olmaktır ve şimdiye kadar hazırladığımız her kubit için ve çıkış kubitlerinin her biri için ikisi arasında bir CNOT ekleyin veya eklemeyin. Örneğin, genlikli durum$3/\sqrt{12}$ olması gerekiyor $|11\rangle$, en soldaki kübitimizden çıkış kübitlerinin ikisine de CNOT yapmamız gerekir. O zaman çok kontrollü bir NOT işlemi kullanarak en soldaki kübiti hesaplamalıyız. Her çıkış qubit için bir kontrol olmalıdır ve kontrolün tipi (qubit-gerekir-açık vs qubit-olmalıdır-off) qubit değiştirip değiştirmediğinize göre belirlenir.

Bu adımları uygulamak, Hardy durumu oluşturmak için verimsiz ancak doğru bir devre üretir. Devreyi Quirk'te açabilirsiniz :

Çok fazla çalışma alanı kullanmadan bir durum üretmek istiyorsanız, görev zorlaşır. Ama yine de büyüklükleri, daha sonra fazları takip edebilir ve desen sipariş edebilirsiniz. Ayrıca, güzel desenlere sahip büyüklük kümeleri hazırlamak için daha akıllı yollar vardır. Örneğin, sadece bir genlik diğerlerinden farklı olduğunda, durumu hazırlamak için bir tur kısmi genlik amplifikasyonu yeterli olabilir.