Sütyen ket notasyonu nasıl çalışır?

Kuantum algoritmaları, açıklamalarında sıklıkla bra-ket notasyonu kullanır. Tüm bu parantez ve dikey çizgiler ne anlama geliyor? Örneğin: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Bu tartışılabilir bir matematik sorusu olmasına rağmen, bu tür gösterim özellikle kuantum hesaplamaları ile uğraşırken sıklıkla kullanılıyor gibi görünmektedir. Başka bağlamlarda kullanıldığını gördüğümden emin değilim.

---

Düzenle

Son kısımda, lineer cebir için standart notasyonu kullanarak vektörleri ve iç ürünleri göstermenin mümkün olduğunu kastediyorum ve bu nesneleri ve operatörleri kullanan bazı diğer alanlar bunu bra-ket notasyonu kullanmadan yapıyor.

Bu bana bra-ket'in kuantum algoritmalarını belirtmek için özellikle kullanışlı olmasının bir nedeni / nedeni olduğu sonucuna varmamı sağladı. Aslında bir iddia değil, bunu gözlem olarak kastettim. "Başka bir yerde kullandığımı sanmıyorum" ifadesi "Başka hiçbir bağlamda kullanılmıyor" ifadesiyle aynı değildir.

Başkaları tarafından zaten açıklandığı gibi, bir ket sadece bir vektördür. Bir sütyenVektörün Hermitian konjugatıdır. Bir vektörü bir sayı ile normal şekilde çarpabilirsiniz.⟨ ψ $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Şimdi eğlenceli kısım geliyor: İki vektörün skaler çarpımını ve , olarak yazabilirsiniz .| cp ⟩ ⟨ $\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$$\left<\phi\middle|\psi\right>$

Vektöre bir işleç uygulayabilirsiniz (sonlu boyutlarda bu sadece bir matris çarpımıdır) .$X\left|\psi\right>$

Sonuçta, gösterim çok kullanışlı ve sezgisel. Daha fazla bilgi için Wikipedia makalesine veya Quantum Mechanics ile ilgili bir ders kitabına bakın .

ve iki boyutlu bir kompleks vektör uzayında bulunan bir kuantum bitinin iki ortonormal temel durumu ("ket" ler ile temsil edilir) olarak düşünebilirsiniz . Gördüğünüz çizgiler ve parantezler temelde kuantum mekaniğinde sıkça kullanılan sutyen-keten notasyonu , Dirac notasyonu .| 1 $|0\rangle$$|1\rangle$

Örnek olarak bir elektronun döndürme durumunu temsil ederken, döndürme durumunu gösterebilir. Fakat aslında elektron, bu iki durumun doğrusal bir üst üste konumunda olabilir; yani (bu genellikle ) burada .| 1 ⟩ | ψ ⟩ elektron = a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ bir | 0 ⟩ + b | 1 $|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ a,b∈$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$$a,b\in \Bbb{C}$

Tüm bu parantez ve dikey çizgiler ne anlama geliyor?

gösterimi , tam olarak veya aynı anlama gelir, yani adı "v" olan bir vektör anlamına gelir. Bu kadar. Başka hiçbir gizem veya sihir yok. sembolü "psi" adlı bir vektörü gösterir.→ v v | ψ $\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

sembolüne "ket" denir, fakat aynı zamanda (ve bence) kesinlikle hiçbir anlam kaybı olmayan "vektör" olarak da adlandırılabilir.$\left \lvert \cdot \right \rangle$

Bu tartışılabilir bir matematik sorusu olmasına rağmen, bu tür gösterim özellikle kuantum hesaplamaları ile uğraşırken sıklıkla kullanılıyor gibi görünmektedir. Başka bağlamlarda kullanıldığını gördüğümden emin değilim.

Gösterim, bir fizikçi ( Paul Dirac ) tarafından icat edildi ve "Dirac notasyonu" veya "sütyen keten notasyonu" olarak adlandırıldı . Bildiğim kadarıyla, Dirac muhtemelen kuantum mekaniğini okurken icat etti ve bu nedenle tarihsel olarak, kuantum mekaniğinde, yani kuantum hallerinde ortaya çıkan vektörleri belirtmek için çoğunlukla gösterim kullanılmıştır. Sütyen-ket notasyonu standarttır herhangi kuantum mekaniği bağlamında değil, sadece kuantum hesaplama. Örneğin, kuantum sistemlerindeki dinamiklerle ilgili olan ve kuantum hesaplamayı on yıllardan önce yapan Schrodinger denklemi , sutyen-keten notasyonu kullanılarak yazılmıştır.

Ayrıca, notasyon, diğer lineer cebir bağlamlarında oldukça uygundur ve kuantum mekaniğinin dışında kullanılır.

Bu bana bra-ket'in kuantum algoritmalarını belirtmek için özellikle kullanışlı olmasının bir nedeni / nedeni olduğu sonucuna varmamı sağladı.

Kabul edilmiş bir cevap ve 'ket', 'sütyen' ve skaler ürün gösterimini açıklayan bir cevap zaten var.

Vurgulanan girişe biraz daha eklemeyi deneyeceğim. Onu kullanışlı / kullanışlı bir gösterimde kılan nedir?

Bra-ket notasyonunun gerçekten çok kullanıldığı ilk şey, bir özdeğerle ilişkili (genellikle Hermitian) bir operatörün özvektörlerini göstermektir. Elimizdeki varsayalım bir özdeğer denklemi olarak, bu ifade edilebilir ve muhtemelen bazı ekstra etiket ise yozlaşma var .A | Â ⟩ = Â | Â ⟩ k A | λ , k ⟩ = λ | λ , k $A(v)=\lambda v$$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Bunu, kuantum mekaniğinin her tarafında kullandığını görüyorsunuz, momentum eigenstatları , birimlere bağlı olarak veya birden fazla partikül durumuna sahip olarak, veya olarak etiketlenir. ; bose ve fermi sistemi için işgal sayı temsili birçok vücut sistemi ; genellikle operatörünün özdeğerlerini alan, bazen ve veya ve , vb için steno olarak| → p ⟩ | → p 1 , → p 2 , → p 3 … ⟩ | n 1 , n 2 , ... ⟩ S z | + ⟩ | - ⟩ | $\left|\vec{k}\right\rangle$$\left|\vec{p}\right\rangle$$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$$\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$| $\left|\uparrow\,\right\rangle$| ± ℏ / 2 ⟩ L 2 L z | l , m, ⟩ l = 0 , 1 , 2 , ... m = - l , - l + 1 , ... , L - 1 , l $\left|\downarrow\,\right\rangle$$\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; özfonksiyonlarının olarak küresel harmonik ve işlevleri uygun olarak yazılır ile ve$L^2$$L_z$$\left|l,m\right\rangle$$l=0,1,2,\ldots$$m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Bu nedenle, gösterim kolaylığı bir şeydir, ancak dirac notasyonlu cebirsel manipülasyonlara karşı bir tür 'lego' hissi de vardır, örneğin dirac notasyonundaki spin half operatörünü , gibi bir duruma göre one sadece yaparS x = $S_x$| ↑$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$$\left|\uparrow\right\rangle$

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

beri ve .⟨ ↓ ∣ ↑ ⟩ = $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$$\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Kuantum algoritmaları için kullanışlı kılan nedir?

Diyelim ki bir qubit için uygun bir iki seviyeli sistemimiz var; bu , temelini ve olarak gösterilen iki boyutlu bir karmaşık vektör uzayı oluşturur . Bu biçimin cinsinden olduğunu söylediğimizde , sistemin durumları tensör ürün alanı, daha büyük bir alanda . Dirac notasyonu burada oldukça kullanışlı olabilir, temel durumlar birlerin ve sıfırların dizeleriyle etiketlenir ve genellikle bir durumu belirtir; örneğin: ve ile değiştirilen çevirme operatörümüz olduğunu| 0 ⟩ | 1 ⟩ n V ⊗ n | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ≡ | 1001 ⟩ X i 1 ↔ 0 i X 3 | 1001 ⟩ = | 1011 $V$$\left|0\right\rangle$$\left|1\right\rangle$$n$$V^{\otimes n}$$\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$$X_i$$1\leftrightarrow 0$ üzerinde inci bit', bu yukarıdaki dizgeler olan örneğin üzerine basitçe hareket edebilir ve operatörlerin bir miktar alarak veya a hareket eden Devletlerin üst üste binmesi aynı şekilde çalışır.$i$$X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Hafif bir uyarı: olarak yazılan bir durum her zaman anlamına gelmez , örneğin iki benzer olduğunda dalga fonksiyonları ki ve , etiket bir temel standard endeksleme ile, daha sonra bir fermiyonların slater belirleyici durum bilgileri olabilir bir kestirme ya da .| Bir ⟩ ⊗ | b ⟩ φ k 1 ( → r 1 ) φ k 2 ( → R 2 ) $\left|a,b\right\rangle$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$$\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$$\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$| φk1,φk2⟩| k1,k2⟩≠| k1⟩⊗| k

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

Ket notasyonu araçlar bir vektör biz böyle sekiz 3-bitlik dizeleri tüm karmaşık doğrusal kombinasyonları alanı olarak, çalışan ne olursa olsun vektör uzayı içinde , , , vb kullandığımız edebileceğiniz gibi, kuantum bir bilgisayarın durumlarını temsil etmek. Süslenmemiş tamamen aynı anlama gelir - ket notasyonu kısmen, örneğin, ilgilenilen vektör uzayının bir unsuru olduğunu ve kısmen de kesiklik ile birlikte sütyen notasyonu.000 001 010 ψ | ψ ⟩ | 010 $|\psi\rangle$$000$$001$$010$$\psi$$|\psi\rangle$$|010\rangle$

Sutyen notasyonuanlamına gelir , çift vektör veya covector -a doğrusal fonksiyonel değeri bir vektör üzerinden skalarlar için vektörlerden veya doğrusal ilk, olan iç çarpım arasında ile , şirin yazılı . Burada, keyfi vektör uzaylarında verilmeyen bir iç ürünün varlığını varsayıyoruz, ancak kuantum fiziğinde genellikle tanımı gereği iç ürünü olan Hilbert uzaylarında çalışıyoruz . Bir vektörün duali bazen (Hermitian) devrik olarak da adlandırılır.| cp ⟩ ψ cp ⟨ ψ | cp ⟩ r O w x c o L u m , n [ a b - b bir ] , bir + b $\langle\psi|$$|\phi\rangle$$\psi$$\phi$$\langle\psi|\phi\rangle$, çünkü matris gösteriminde, bir vektör bir sütuna karşılık gelir ve bir covector bir satıra karşılık gelir ve çarptığınızda skaler olur. (Hermitesel parçası vasıtası matris aktarılması ek olarak, onun girişleri-gerçekten sadece daha matris ile temsil aktarılması olan birisinin kompleks eşleniğinin almak kompleksin sayısı .)$\mathrm{row} \times \mathrm{column}$$\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$a + b i$

Başka bir şekilde yazıldığında,, O kadar dış ürünü arasında ile , verilen tek başına vektör alan lineer transformasyon olarak tanımlanır . Yani, bir vektöre verilirse, içteki tarafından verilen skalar ile vektörü ölçeklendirir . Söz konusu işlemler ilişkisel olduğu için parantezleri kaldırabilir ve açıkça yazabiliriz.ψ ϕ | İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ⟩ dönüs ümü altında, ( ⟨ cp | İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ⟩ ) | ψ ⟩ İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ψ ⟨ cp | İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ⟩ ( | ψ ⟩ ⟨ cp | ) | İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ cp | İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ⟩ = ⟨ cp | İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ⟩ | ψ ⟩ = ( $|\psi\rangle\langle\phi|$$\psi$$\phi$$|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$$\theta$$\psi$$\langle\phi|\theta\rangle$⟨ Ψ | cp ⟩ = ⟨ cp | ψ ⟩ * Bir + b i bir - b i ⟨ ψ | A | cp ⟩ ⟨ ψ | A | cp ⟩ ⟨ ψ | | cp ⟩

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ İlgili işlemler şunlardır değildir sıralarının tersine kompleks bir konjügatı verir: Bununla birlikte, genel olarak değişmeli , değiştirilmesi tarafından . atılan boşlukların başka dönüşümleri de olabilir, örneğin , lineer fonksiyonel in ön bileşimi olarak eşit bir şekilde okunabilen gibi. vektörüne uygulanan doğrusal dönüşüm$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$$a + b i$$a - b i$$\langle\psi|A|\phi\rangle$$\langle\psi|$$A$$|\phi\rangle$, ya da doğrusal işlevselliğin değerlendirmesi olarak ı doğrusal dönüşüm dönüştürerek elde edilen vektörde .$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$A$

Gösterim esas olarak kuantum fiziğinde kullanılır; matematikçiler sadece yazma eğilimi fizikçiler yazabiliriz ; covector için; ya veya iç ürün için; ve , fizikçilerin tarafından yazdıkları şey için .| ψ ⟩ ψ * ⟨ ψ | ⟨ Ψ , cp ⟩ ψ * cp ψ * Bir cp ⟨ ψ | A | cp $\psi$$|\psi\rangle$$\psi^*$$\langle\psi|$$\langle\psi,\phi\rangle$$\psi^*\phi$$\psi^*A\phi$$\langle\psi|A|\phi\rangle$