RRT *, minimum boşluk maliyeti metriği için asimtotik optimallik garantisi veriyor mu?

Optimum örnekleme tabanlı hareket planlama algoritması ( bu makalede açıklanmıştır ), planlama süresi arttıkça optimum yola yakınsamayan, çarpışmasız yollar sağladığı gösterilmiştir. Bununla birlikte, görebildiğim kadarıyla, iyimserlik kanıtları ve deneyleri, yol maliyeti metriğinin yapılandırma alanındaki Öklid mesafesi olduğunu varsaymıştır. Can ayrıca yolu boyunca engeller asgari boşlukları maksimize gibi diğer yolu kalite metrikleri, için eniyilik özelliklerini verim? $\text{RRT}^*$ $\text{RRT}^*$

Minimum açıklığı tanımlamak için: basitlik için, Öklid uzayında hareket eden bir nokta robotu düşünebiliriz. Çarpışmasız konfigürasyon alanında bulunan herhangi bir konfigürasyon için, robot ile en yakın C engeli arasındaki mesafeyi döndüren bir fonksiyon tanımlayın . yolu için , minimum boşluk tüm için minimum değeridir . Optimal hareket planlamasında, bir yol boyunca engellerden minimum açıklığı en üst düzeye çıkarmak isteyebilirsiniz . Bu, bazı maliyet metrik tanımlayan anlamına geleceğini , öyle ki $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ Minimum boşluk azaldıkça artar. Basit bir işlev . $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

Gelen ilk kağıt tanıtan , birkaç varsayımlar deliller tuttukları yol masrafı metrik Yani yaklaşık yapılır; varsayımlardan biri, yukarıdaki minimum boşluk metriği için geçerli olmayan maliyet metriğinin eklenebilirliğiyle ilgilidir. Bununla birlikte, algoritmayı açıklayan daha yeni dergi makalesinde , önceki varsayımların birçoğu listelenmemişti ve minimum temizleme maliyeti metriğinin algoritma tarafından da optimize edilebileceği görülüyordu. $\text{RRT}^*$

nin en uygun olduğunu gösteren kanıtların minimum boşluk maliyeti metriği (belki de yukarıda verdiğim değil, aynı minimum değere sahip olan bir başkasının) tutabileceğini veya deneyleri gerçekleştirip gerçekleştirmediğini biliyor mu? böyle bir metrik için algoritmanın yararlılığını destekliyor musunuz? $\text{RRT}^*$

— giogadi
kaynak

Minimum temizleme maliyeti metriğine aşina değilim, ancak adıyla genel fikri anlıyorum. Belirli bir işlev mi yoksa bir işlev sınıfı mı?

— DaemonMaker

İyi soru: Metrik robota bağlı olarak değiştiğinden, Öklid uzayında hareket eden holonomik bir nokta robotuna baktığımızı varsayalım. Herhangi bir q konfigürasyonunda, nokta robotu ve en yakın C engeli arasındaki mesafeyi döndüren bir d (q) fonksiyonuna sahibiz. Bu nedenle, yapılandırma alanındaki bir yol için, tüm yolun minimum boşluğu, yoldaki tüm q için minimum d (q) değeridir.

— giogadi

Meta soru: Orijinal soruyu, yorumlarda ve diğer yanıtlarda dile getirilen açıklamalarla ne zaman düzenlemem önerilir?

— giogadi

Bu iyi bir meta sorudur ve Robotik meta SE'de daha fazla yanıt alır . ;) Ancak, soruyu açıklığa kavuşturmak genellikle iyidir. Özellikle ortaya çıkan cevaplar amaçlanan soru ile aynı hizada değilse bunu yapmanızı tavsiye ederim.

— DaemonMaker

Yanıtlar:

* Not, , ve yollarının birleşimidir . Sonra minimum boşluk olarak tanımlanan $a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Şuna başvuruyorsunuz (referans 1'de):

Teorem 11: (Maliyet Fonksiyonu Toplamsallığı.) Tümü için , , maliyet fonksiyonu c satis fi es aşağıdadır: $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Hangi oldu (referans 3, Sorun 2):

Maliyet fonksiyonunun monotonik olduğu varsayılır, yani tüm $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Bu hala minimum boşluk mesafesi için geçerli değildir.

Güncelleme: Yol maliyetlerindeki rahat kısıtlama göz önüne alındığında, önerilen exp (-min_clearance) iyi görünüyor.

— Josh Vander Kanca
kaynak

Cevabınız, tarif ettiğim metriğin aslında kötü olduğunu fark etmemi sağladı. Genellikle bir yol üzerindeki minimum açıklığı MAKSİMUME EDİYORUZ, bu nedenle aslında bir yolun maliyeti, bir yolun minimum açıklığı DÜŞÜRÜLDÜĞÜNDE ARTIRILMALIDIR. Bunun için aklıma gelen ilk maliyet fonksiyonu c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma), ancak bu işlev engel sınırlarında tanımsız bırakıyor ve kanıtların çalışması için RRT * 'nin Q_free'nin kapatılmasını gerektirdiğine inanıyorum . Sınır sorununu engellemek için, bu yeni maliyet fonksiyonu ispatın gerektirdiği gibi monotonik olacaktır.

— giogadi

Sınır sorununu önleyen basit bir maliyet fonksiyonunun c (sigma) = -min_clearance (sigma) olabileceğini varsayalım, ancak negatif metriğin RRT * kanıtının diğer bölümlerine ne yapabileceğinden emin değilim ...

— giogadi

Makale açıkça maliyet sıfır olduğunu varsayar . Sınıra dokunmanın tekilliğini ele almak için yapılandırma alanını bir kadar genişletebilirsiniz , ancak kağıt clear değerini de kabul eder ve bu değiştirmekle çakışmaya neden olabilir . Sanırım şimdi farklı bir soruya cevap vermeye çalışıyorsunuz ve bu, bu formatta kolay olmayan bazı tartışmalar içerebilir.

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

— Josh Vander Hook

Başka bir olası metrik: c (sigma) = exp (-min_clear (sigma))

— giogadi

Üstel maliyet fonksiyonunu en çok seviyorum.

— Josh Vander Hook

Bir de önceki cevabı , bir maliyet fonksiyonu olarak tanımlanan olduğunu kabul etmek geldi

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

RRT * 'nin bu metrik altında asimptotik optimallik vermesi için gereken özellikleri karşılayacaktır.

Ancak, RRT * açıklanır IJRR makaleyi incelerken üzerine, bu maliyet fonksiyonu yok değil teknik makalesinde yapılan varsayımlar karşılamaktadır. Özellikle, bu maliyet işlevi , şu şekilde tanımlanan boundedness özelliğini ihlal eder :

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

burada olan toplam varyasyon esas yolun Öklid uzunluğu olan bir yol, bir. Bu sınırlılık varsayımı altında, 0 uzunluğundaki bir yolun da maliyeti 0 olmalıdır. $\text{TV}(\sigma)$

Diyelim bir yol tanımlamak tek bir konfigürasyon meydana geldiği uzunluğunu, yani 0 Bizim yolu maliyeti, o halde olduğu , burada sınırlılık varsayımını ihlal eder. Bu nedenle, bu maliyet fonksiyonu, asimptotik optimallik sağlamak için IJRR makalesinde belirlenen gereksinimleri karşılamamaktadır. $\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

RRT * 'nin böyle bir maliyet fonksiyonu altında asimptotik olarak en uygun çözümleri üretip getirmeyeceğini merak ediyorum ya da yine de olabilir ama belki de bu varsayımlar kağıttaki iyimserlik kanıtlarını basitleştirdi.

— giogadi
kaynak