Bağlantı parametrelerini ve açılarını (kinematikte) programlama mantığındaki dönüşüm matrislerine nasıl dönüştürebilirim?

Robotik araştırmasını lisans olarak yapıyorum ve çoğunlukla kavramsal matematiği anlıyorum; ancak, robotum için ileri kinematiği hesaplamak için kod uygulamak söz konusu olduğunda, takıldım. Sadece bulduğum kitabın ya da web sitelerinin açıkladığı şekli almıyorum.

Aşağıdaki gibi bağlantı parametreleri (Denavit-Hartenberg parametreleri) verilen XYZ açılarını hesaplamak istiyorum :

$$\begin{array}{ccc} \bf{i} & \bf{\alpha_i-1} & \bf{a_i-1} & \bf{d_i} & \bf{\theta_i}\\ \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \theta_1\\ 2 & -90^{\circ} & 0 & 0 & \theta_2\\ 3 & 0 & a_2 & d_3 & \theta_3\\ 4 & -90^{\circ} & a_3 & d_4 & \theta_4\\ 5 & 90^{\circ} & 0 & 0 & \theta_5\\ 6 & -90^{\circ} & 0 & 0 & \theta_6\\ \end{array}$$

Bu değerler tablosunu almak için gereken uygun dönüşüm matrislerine nasıl dönüştüreceğimizi anlamıyorum $^0T_N$, Kartezyen konumu ve son bağlantının dönüşü. Oradan, kitabımı okumaktan XYZ açılarını anlayabileceğimi umuyorum, ancak herhangi bir yardım takdir edilecektir.

DH Matris wikipedia DH sayfanın bölüm detaylara sahip.

Temel olarak, bir dizi homojen dönüşüm matrisi oluşturmak için tablonuzdaki bilgileri kullanmak istersiniz. Bunu yaparız, çünkü homojen dönüşümler, bir veya daha fazla başka tarafından ayrılmış çerçeveler arasındaki ilişkiyi bulmak için çoğaltılabilir. Örneğin,$^0T_1$ kare 1'den kare 0'a dönüşümü temsil ederken $^1T_2$ çerçeve 2'den çerçeve 1'e dönüşümü temsil eder. Bunları çarparak çerçeve 2'den çerçeve 0'a dönüşümü elde ederiz, yani $^0T_2 = ^0T_1^1T_2$.

Dönüşümlerin her birini oluşturmanın kolay bir yolu, tablodaki her sütun için homojen bir dönüşüm veya homojen rotasyon matrisi yapmak ve bunları birlikte çoğaltmaktır. Örneğin, 1'den 0'a dönüşüm (ör.$^{i-1}T_i, i = 1$) dır-dir

$^0T_1 = Trans(d_1)*Rot(\theta_1)*Trans(a_2)*Rot(\alpha_2)$

nerede

$Trans(d_1) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \bf{d_1 = 0} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$

$Rot(\theta_1) = \begin{bmatrix} \text{cos}(\bf{\theta_1}) & - \text{sin}(\bf{\theta_1}) & 0 & 0 \\ \text{sin}(\bf{\theta_1}) & \text{cos}(\bf{\theta_1}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$

$Trans(a_2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \bf{a_2 = 0} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$

$Rot(\alpha_2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos}(\bf{\alpha_2 = 0}) & -\text{sin}(\bf{\alpha_2 = 0}) & 0 \\ 0 & \text{sin}(\bf{\alpha_2 = 0}) & \text{cos}(\bf{\alpha_2 = 0}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Bu durumda

$^0T1 = Rot(\theta_1)$.

Tüm dönüşümlerinizi yaptıktan sonra, bunları bir araya getirerek, örneğin

$^0T_N = ^0T_1*^1T_2...^{N-1}T_N$.

Sonunda yer değiştirme vektörünü homojen dönüşümden okuyabilirsiniz $^0T_N$ (yani $d = [^0T_{N,14}, ^0T_{N,24}, ^0T_{N,34}]^T$). Benzer şekilde rotasyon matrisini$^0T_N$ XYZ açılarını bulmak için.