Süreksiz Galerkin: Nodal vs Modal avantajları ve dezavantajları

Süreksiz galerkin yönteminde çözümleri temsil etmek için iki genel yaklaşım vardır: düğüm ve kip.

1. Modal : Çözümler, bir dizi polinom kümesiyle çarpılan modal katsayıların toplamı ile temsil edilir, örn. burada genellikle dik polinomlardır , örneğin Legendre. Bunun bir avantajı, ortogonal polinomların diyagonal bir kütle matrisi üretmesidir.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Düğüm : Hücreler, çözeltinin tanımlandığı birden fazla düğümden oluşur. Hücrenin yeniden yapılandırılması daha sonra enterpolasyon yapan bir polinomun takılmasına dayanır, örn. burada bir Lagrange polinomudur. Bunun bir avantajı, düğümlerinizi kareleme noktalarına konumlandırabilmeniz ve integralleri hızlı bir şekilde değerlendirebilmenizdir.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

Büyük ölçekli, karmaşık ( - DOF) bağlamında, esneklik, uygulama netliği ve verimlilik hedefleri ile 3D karışık yapılandırılmış / yapılandırılmamış paralel uygulama , her yöntemin karşılaştırmalı avantajları ve dezavantajları nelerdir?$10^6$$10^9$

Eminim zaten orada iyi bir literatür var, eğer biri beni de harika bir şeye yönlendirebilirse.

Aşağıdaki dengeler DG'ye ve spektral elemanlara (veya -sonlu sonlu elemanlara) eşit olarak uygulanır .$p$

-adaptivitesinde olduğu gibi bir elemanın sırasını değiştirmek, mevcut temel işlevler değişmediği için modal bazlar için daha basittir. Bu genellikle performansla ilgili değildir, ancak yine de bazı insanlar bunu sever. Modal bazlar ayrıca bazı kenar yumuşatma teknikleri için doğrudan filtrelenebilir, ancak bu aynı zamanda bir performans darboğazı değildir. Modal bazlar ayrıca, özel operatörler (genellikle Laplacian ve kütle matrisleri) için bir eleman içindeki esnekliği ortaya çıkarmak için seçilebilir. Bu, değişken katsayılı veya afin olmayan elemanlar için geçerli değildir ve tasarruflar tipik olarak 3D'de kullanılan mütevazı düzen için çok büyük değildir.$p$

Düğüm tabanları, eleman sürekliliğinin tanımını basitleştirir, sınır koşullarının, temasın ve benzerlerinin uygulanmasını basitleştirir, çizilmesi daha kolaydır ve daha iyi bir $h$-Özelleştirilen operatörlerde esneklik (böylece daha ucuz düzleştirici / ön-koşullandırıcı kullanımına izin verir). Katı cisim modları (sadece düğüm koordinatları kullanın) gibi çözücüler tarafından kullanılan kavramları tanımlamak ve çoklu ızgara yöntemlerinde ortaya çıkan belirli şebeke aktarım operatörlerini tanımlamak da daha kolaydır. Katıştırılmış takdir yetkileri, bir temel değişikliğe ihtiyaç duymadan ön koşullandırma için de kullanılabilir. Düğüm ayrıklaştırmaları, kollokasyonlu dördüncülüğü (spektral eleman yöntemlerinde olduğu gibi) etkin bir şekilde kullanabilir ve karşılık gelen yetersiz entegrasyon, enerji tasarrufu için iyi olabilir. Birinci mertebeden denklemler için elemanlar arası kuplaj, nodal bazlar için daha azdır, ancak aksi halde modal bazlar genellikle aynı spariteyi elde etmek için modifiye edilir.

Bu sorunun bazı cevaplarını görmek merak ediyordum, ama bir şekilde kimse cevap vermekten rahatsızlık duyuyor ...

Literatürle ilgili olarak, Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği için Spectral / hp Element Metodları kitabını (şimdi de daha ucuz bir yumuşak kapak versiyonu var) ve Hesthaven ve Warburton kitabını gerçekten seviyorum . Bu ikisi, yöntemleri uygulamanıza yardımcı olacak oldukça ayrıntılara girer. Canuto, Hussaini, Quarteroni ve Zang kitabı daha teoriktir. Bu da ikinci bir hacme sahiptir: "Spektral Yöntemler: Karmaşık Geometrilere Evrim ve Akışkanlar Dinamiğine Uygulamaları".

DG yöntemleri üzerinde çalışmıyorum ve nodal ve modalın avantajlarını değerlendirmek için uzman değilim. Karniadakis ve Sherwin kitabı daha çok sürekli modal genişlemelere sahip yöntemlere odaklanmıştır . Bu tür yöntemde, küresel genişlemenin sürekliliğini korumak için arabirimdeki karşılık gelen modların eşleşeceği şekilde iki komşu öğedeki modları yeniden sıralamak zorundasınız. Ayrıca, sınır koşullarını uygulamak, modlarınız sınırdaki belirli bir konumla ilişkili olmadığından daha fazla dikkat gerektirir.

Umarım bu tür yöntemlere aşina olan biri daha fazla ayrıntı ekler.