Taşma hataları olmadan büyük üstel terimler güvenilir şekilde nasıl eklenir?

Markov Zincirinde çok yaygın bir sorun olan Monte Carlo, büyük üstel terimlerin toplamı olan hesaplama olasılıklarını içermektedir.

$e^{a_1} + e^{a_2} + ...$

Bir kutudaki bileşenler çok küçükten çok geniş yelpazeye kadar değişebilir. Benim yaklaşımım, en büyük üstel terimi etmektir, böylece:$a$$K := \max_{i}(a_{i})$

e bir ' ≡ E bir 1 + e bir 2 + . .

Bu yaklaşım tüm unsurları eğer makul $a$ onlar değilse kadar iyi bir fikir büyük, ancak. Tabii ki, daha küçük elemanlar kayan nokta toplamına hiçbir şekilde katkıda bulunmuyor, ancak onlarla nasıl güvenilir bir şekilde başa çıkılacağından emin değilim. R kodunda yaklaşımım şöyle gözüküyor:

if ( max(abs(a)) > max(a) )
  K <-  min(a)
else
  K <- max(a)
ans <- log(sum(exp(a-K))) + K

Standart bir çözüm olması gereken yeterince yaygın bir sorun gibi görünüyor, ancak ne olduğundan emin değilim. Herhangi bir öneriniz için teşekkür ederiz.

Verilerde yalnızca iki geçişli basit bir çözüm var:

İlk hesaplama

size terimleri varsa, o zaman Σ i e bir i ≤ n e K$n$

Muhtemelen kadar bile yakın hiçbir yerde olmadığına göre, hesaplamasında çift ​​kesinlikli taşma konusunda endişelenmenize gerek yoktur .10 20 τ : = ∑ i a a i - K ≤ $n$$10^{20}$

Böylece, hesaplayın ve sonra çözüm .e K$\tau$$e^K \tau$

Birlikte çiftler eklerken hassasiyetini korumak için Kahan Summation kullanmanız gerekir , bu bir taşıma kaydına sahip olan yazılımdır.

$e^{709.783}$doubleMax - sumSoFar < valueToAddexponent > 709.783

$\mathit{value}\times2^\mathit{shift}$

#!/usr/bin/env python
from math import exp, log, ceil

doubleMAX = (1.0 + (1.0 - (2 ** -52))) * (2 ** (2 ** 10 - 1))

def KahanSumExp(expvalues):
  expvalues.sort() # gives precision improvement in certain cases 
  shift = 0 
  esum = 0.0 
  carry = 0.0 
  for exponent in expvalues:
    if exponent - shift * log(2) > 709.783:
      n = ceil((exponent - shift * log(2) - 709.783)/log(2))
      shift += n
      carry /= 2*n
      esum /= 2*n
    elif exponent - shift * log(2) < -708.396:
      n = floor((exponent - shift * log(2) - -708.396)/log(2))
      shift += n
      carry *= 2*n
      esum *= 2*n
    exponent -= shift * log(2)
    value = exp(exponent) - carry 
    if doubleMAX - esum < value:
      shift += 1
      esum /= 2
      value /= 2
    tmp = esum + value 
    carry = (tmp - esum) - value 
    esum = tmp
  return esum, shift

values = [10, 37, 34, 0.1, 0.0004, 34, 37.1, 37.2, 36.9, 709, 710, 711]
value, shift = KahanSumExp(values)
print "{0} x 2^{1}".format(value, shift)

Yaklaşımınız sağlam.

$K$$K$

"Log-sum-exp hile" nin hızlı ve etkin bir şekilde uygulanmasını sağlayan bir R paketi var.

http://www.inside-r.org/packages/cran/matrixStats/docs/logSumExp

LogSumExp işlevi, sayısal bir lX vektörünü kabul eder ve açıkladığınız yöntemi kullanarak taşma ve taşma sorunlarını önlerken günlük (toplam (exp (lX))) çıkışı verir.