Beşinci dereceden Runge-Kutta yönteminin istikrar bölgesi hakkında şaşırtıcı açıklama

Gazetede kafa karıştırıcı bir ifadeyle karşılaştım

PJ van der Houwen, Kısmi diferansiyel denklemler için Runge-Kutta yöntemlerinin geliştirilmesi, Appl. Num. Matematik. 20: 261, 1996

264. Sayfadaki 8ff satırlarında, van der Houwen şöyle yazıyor:

"Taylor polinomları için bu hayali kararlılık aralığı için boş olduğunu ima $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$ "

burada Taylor polinomu , Runge-Kutta yönteminin stabilite polinomunu ( etrafında kesik genişlemesi ) ifade eder ve p sırasıdır (bkz. sayfa 263). Bir şeyi yanlış anladığımı varsayıyorum çünkü beşinci dereceden Runge-Kutta yönteminin bildiğim kadarıyla boş bir hayali istikrar aralığı yok. Hatırladığım kadarıyla, hayali sınır yaklaşık 3.4 ya da öylesine. $\exp(x)$ $x=0$

Yanlış anlama nedir?

numerical-analysis stability runge-kutta

— Brian Zatapatique
kaynak

van der Houwen'ın ifadesi doğru, ancak beşinci dereceden tüm Runge-Kutta yöntemleri hakkında bir açıklama değil. O bahsediyor "Taylor polinomları" (Bildiğiniz gibi görünüyor gibi) derecesi sadece polinomları olan o yaklaşık sipariş için : $p$ $\exp(z)$ $p$

P_{p} (z) = Σ_{j = 1}^{p} \frac{z^{j}}{j!}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

Beşinci dereceden polinom için, ortaya çıktı için küçük , yani bir yöntem olan stabilitesi bölgesi stabilitesi polinom olarak hayali eksen üzerinde kaynaklı bir mahalle içermez . Tam olarak, van der Houwen ne diyor. $|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

Karışıklıklarınızın en muhtemel kaynağı "beşinci dereceden Runge-Kutta yöntemi" ile kastedilen şeydir. Beşinci derece Runge-Kutta yöntemi vardır (sonsuz olarak), ancak en çok bilinen yöntemlerin stabilite polinomları olarak . Neden? As John Butcher ünlü kanıtladı , beşinci dereceden Runge-Kutta yöntemi en az altı aşamadan sahip olmalıdır . Genellikle, altı (veya daha fazla) aşamalı bir yöntemin stabilite polinomu altı derece (veya daha fazla) içerir. Örneğin , bu Wikipedia sayfasında listelenen beşinci dereceden yöntemlerin her biri tam olarak altı aşama kullanır ve altı derece stabilite polinomuna sahiptir. $P_5(z)$

Beşinci dereceden bir yöntemin sahip olması mümkün müdür? $P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

Son olarak, yüksek dereceli Runge-Kutta yöntemleri için hayali kararlılık aralığının kapsamını belirlerken hata yapmak kolaydır. Çünkü bu yöntemler için stabilite bölgesinin sınırı hayali eksene son derece yakındır . Bu nedenle, yuvarlama hataları yanlış sonuçlara yol açabilir; sadece kesin hesaplamalar kullanılmalıdır (tabii ki, bu koşullar altında pratik amaçlar için istikrar bölgesi sınırının uygunluğu kesinlikle tartışılabilir).

Örneğin, Fehlberg 5 (4) çiftinden beşinci dereceden yöntemin stabilite bölgesinin bir grafiği: Fehlberg denge bölgesi

Hayali denge aralığı boş, ancak bu çözünürlükte resimden söyleyemezsiniz! Bölgenin hayali eksenin bir kısmını açıkça içerdiğini, ancak başlangıç noktası hakkında bir aralık olmadığını unutmayın.

Bu arada, Dormand-Prince 5 (4) çiftinin beşinci dereceden yönteminin planı:

DP5 kararlılık bölgesi

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Ayrıca , yukarıdaki grafikleri üreten ve bir yöntemin hayali kararlılık aralığı gibi şeyleri doğru bir şekilde belirlemek için kullanılabilen NodePy paketiyle de ilgilenebilirsiniz (sorumluluk reddi: NodePy'yi oluşturdum).

— David Ketcheson
kaynak

David, birkaç şeyi temizleyen mükemmel cevabın için teşekkürler. Erişim olmadan birkaç gün seyahat etmek üzereyim. Cevabınızı bu şekilde asılı bırakmak istemedim; Geri döneceğim.

— Brian Zatapatique