Yuvalanmış önkoşullar için yönergeler

Önceden koşullandırılmış Krylov yöntemini kullanarak doğrusal bir sistemi çözmek istediğiniz durumu göz önünde bulundurun, ancak ön koşullandırıcının kendisini uygulamak, başka bir önceden koşullandırılmış Krylov yöntemiyle yapılan bir yardımcı sistemin çözülmesini içerir.

• Bir uçta, dış çözümü her adımında yakınsama için iç çözümü çalıştırabilirsiniz.

• Diğer uçta, iç çözümü hiç yapamadınız, bunun yerine iç önkoşul ile değiştirebilirsiniz.

• Ortada bir yerde, bazı sabit sayıda yinelemeden sonra veya belirli bir tolerans elde edildikten sonra iç Krylov döngüsünü kesebilirsiniz.

Ampirik olarak, ilk uç noktanın daha iyi olduğu durumlarla ve ikinci uç ucun daha iyi olduğu farklı durumlarla (toplam maliyet açısından) karşılaştım. Ancak, belirli durumların bir stratejiyi diğerine karşı tercih etmesinin net bir nedenini bulamıyorum.

Bu farklı stratejilerin ne zaman tercih edileceği konusunda herhangi bir rehberlik veya teori var mı?

Bu soru uzun zamandır açık, ama bence hala cevaplanmayı hak ediyor.

Krylov-uzay çözücülerinin iç önkoşul olarak bireysel bloklarda kullanılması ile ilgili temel problem, doğrusal operatör olmamalarıdır. Bunu anlamak için şunu ifade edelim:$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$ Krylov uzay yöntemini çalıştırarak çözüm olarak aldığınız vektör $K$ doğrusal sistemde $Ax=b$ en fazla $N$ iterasyonlar veya bir toleransa kadar $\tau$ bir ön koşul kullanılarak ulaşılır $P\approx A^{-1}$. Başka bir deyişle,$K$ üzerinde hareket eden bir operatör olarak $b$.

Şimdi unutmayın $K(A,P,0,\infty;\cdot)$ doğrusal bir operatördür: çözmeyi gerektirir $Ax=b$ tam olarak, yani, $K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$içinde doğrusal olan $b$. Birçok durumda, sıfır vektörün başlayarak tam olarak bir yineleme için bir Krylov uzay yöntemini çalıştırmak da,$b$. Fakat Krylov vektörlerinin dizisi başlangıçtaki artıklara bağlıdır.$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$, operatör $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ genel olarak sonlu için doğrusal bir operatör değildir $N$ ve $\tau$.

Bunun anlamı, eğer $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ doğrusal bir sistem için bir ön koşulun parçası olarak $A$ bir blok ise, doğrusal bir operatör gibi davranmayan bir önkoşul ile sonuçlanırsınız.

Bu, önkoşul için kullanılan diğer birçok yöntemin tersidir: örneğin, bir SSOR adımı, sabit nokta yinelemesinin bir adımını uygulayan diğer tüm yöntemler gibi uyguladığınız vektör üzerinde doğrusal bir işlemdir.

Şimdi temel sorun, çoğu Krylov uzay yönteminin ön koşullayıcının doğrusal bir operatör olmasını gerektirmesidir. Önkoşul doğrusal değilse, gözleminizi açıklamak için birleşmezler. Öte yandan, "Esnek GMRES" içindeki F-GMRES gibi tipik olarak "Esnek" kelimesinin önüne eklenmiş bazı Krylov uzay yöntemlerinin, bu sorunu gideren ve doğrusal olmayan önkoşullarla başa çıkabilen varyasyonları vardır. operatörler. Orijinal yöntemlerin bu esnek varyantları hala yakınsak olacak ve iyi (ancak doğrusal olmayan) önkoşullarla birleştiğinde genellikle güçlü yöntemlerdir.