Doğrudan çözücüler bir matrisin koşul sayısından etkileniyor mu?

Nispeten küçük bir problemi, yani LU gibi doğrudan bir yöntemle ele alınabilecek bir problemi çözersem, doğrusal operatörün durum numarası çözümün doğruluğunu etkiler mi?

Üzerinde çalıştığım araştırma problemlerinden biri, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için optimizasyon tekniklerinin geliştirilmesine odaklanıyor ve karşılaştığım "sorunlar", matrislerin durum sayısının çok yüksek olabileceğidir.

Bu, yinelemeli bir yöntem ve önkoşul kullanacak olsaydım dikkate alınması gereken önemli bir faktör olurdu, ancak şu anda küçük sorunları (1M'den daha az serbestlik derecesinden daha az) çözüyorum, bu nedenle doğrudan bir çözücü şimdilik uygun.

Evet, sisteminizi yinelemeli veya doğrudan bir yöntemle çözmeyi seçmiş olsanız da , koşul numarası her zaman kayan nokta aritmetiği açısından önemlidir. Yaklaşık bir çözeltinin bağıl doğruluk LU çarpanlara dönme ile elde edilen , küçük kayan nokta sayısı örneğin olduğunu ile kayıt makinesi. 64 bit kayan nokta, , matrisinizde koşul sayısı varsa, çözümünüzün yalnızca 4 basamak doğrulukta olduğunu garanti edebilirsiniz.O ( κ ( A ) ⋅ ε ) ε 1 + ε > 1 ε ≈ 10 - 16 10 $Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

Yinelemeli çözücüler için, matris koşul numarası, sonsuz hassasiyetli aritmetikte bile gösteriye girer çünkü algoritmanın teorik yakınsama oranını sıklıkla belirler. Doğrudan çözücülerle, bu ancak bilgisayarınızın son derece hassas bir şekilde çalıştığı dikkate alındığında dikkate alınır.