Hiperbolik uzaydaki noktalar nasıl örneklenir?

Poincaré üst yarı uzay modelindeki hiperbolik uzay, sıradan ancak açı ve mesafe kavramı nispeten basit bir şekilde bozulur. Öklid alan I, örneğin üretme ile çeşitli şekillerde, bir top eşit rastgele nokta örnek olabilir bir yönü elde etmek için bağımsız bir Gauss örnekleri, ayrı ayrı bir koordinat radyal örnek eşit örnekleyerek den ; burada yarıçaptır ve $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ $R$ $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . Hiperbolik üst yarı düzlemde bir küre hala bir küre olur, sadece merkezi Öklid metriğinin merkezi olmayacaktır, bu yüzden aynısını yapabiliriz.

Tekdüze olmayan bir dağılıma göre örneklemek istiyorsak, ancak hala izotropik bir şekilde, örneğin bir Gauss dağılımına göre örneklemek istiyorsak, bu o kadar kolay görünmüyor. Öklid uzayında her bir koordinat için sadece bir Gauss örneği oluşturabiliriz (bu sadece Gauss dağılımı için işe yarar) veya eşdeğer olarak çok boyutlu bir Gauss örneği oluşturabiliriz. Bu örneği hiperbolik uzaydaki bir örneğe dönüştürmenin doğrudan bir yolu var mı?

Alternatif bir yaklaşım, önce radyal bileşen için düzgün bir şekilde dağıtılmış bir yön (örneğin Gaussian örneklerinden) ve ardından radyal bileşen için bir Gauss örneği oluşturmak ve son olarak , belirtilen uzunluk için belirtilen yönde üstel haritanın altında görüntü oluşturmak olabilir . Bir varyasyon sadece Öklid Gauss örneğini almak ve üstel haritanın altında eşlemek olacaktır. $n$

Sorularım:

hiperbolik alanda verilen ortalama ve standart sapmaya sahip bir Gauss örneği elde etmenin iyi ve etkili bir yolu ne olabilir?
yukarıda tarif ettiğim yöntemler istenen örneklemeyi sağlıyor mu?
Formülü zaten kullanan var mı?
bu, diğer metrikler ve diğer olasılık dağılımları için nasıl genelleşir?

Şimdiden teşekkürler.

DÜZENLE

Sadece tek tip örnekleme durumunda bile bu soruların devam ettiğini fark ettim; bir küre bir küre olmasına rağmen, bir top üzerindeki sabit bir fonksiyonla muntazam bir dağılım tarif edilmeyecektir.

— doetoe
kaynak

@yes Yorumunuz için teşekkürler. Her topolojik alanda, topoloji tarafından üretilen Borel sigma cebiri vardır. Riemann metriği size bir hacim kavramı verir. Toplam hacim sonlu ise, bu bir olasılık dağılımı vermek için normalleştirilebilir veya daha genel olarak, ölçülebilir sonlu hacim kümeleri üzerinde tekdüze olasılık dağılımlarını doğrudan verir. Jeodezik ve yay uzunlukları kavramı dahil olmak üzere geometrik bir yapıya sahip olduğunuzdan, Gauss dağılımlarını öklid uzayında olduğu gibi

— mesafeye göre azalan

@yes Top modelindeki topun çevresini örneklemek ve daha sonra bir izometri ile taşımak, merkezin etrafında en azından Öklid ve hiperbolik dönüşler çakışmak daha kolay olabilir. Bu gerçekten en verimli ise, soru, hiperbolik metriğin normal dağılımına göre disk modelindeki merkezin etrafında örneklemenin yapılmasına neden olacaktır.

— doetoe

Burada örnek oluşturmak için Mark Girolami'nin Riemann manifoldu MCMC'sini adapte edebilmelisiniz. Ancak aşırıya kaçabilir. MCMC yapıyorsunuz, ancak jeodezikleri geçerli noktadan çıkararak teklifler oluşturuyorsunuz.

— Nick Alger

Kulağa ilginç gelen @NickAlger, bağlantın var mı?

— doetoe

İşte onunla ilgili ana makalesi. Düz alanda üniform olmayan bir dağılımı örnekleme problemini bir manifold üzerinde tekdüze bir dağılım örnekleme problemine dönüştürürken, manifold üzerinde tekdüze bir dağılımla başlarsınız. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Bunu kendim için yapıyorum. Sanırım Gauss'a en uygun analog hiperbolik uzaydaki ısı çekirdeği olurdu. Neyse ki, bu daha önce çözüldü: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (ayrıca Londra Matematik Derneği Bülteni'nde mevcuttur ).

Standart çürüme kullanın ( $e^{-dist^2/constant}$ ), bir toplam kütlesi nedeniyle hiperbolik alanı için yarıçaplı hacminde üstel bir artışına, 1'den daha büyük olması bekleniyor.

Belirli bir top (veya başka bir kompakt set) üzerinde eşit numune almak için, hacim formuyla birlikte reddetme örneklemesi yapılabilir:

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Kökeni merkezleyen yarıçap 3 top için düzgün bir örnek:

İsterseniz daha fazlasını söylemekten memnuniyet duyarım. En azından geçmişte, açıkça buna ilgi duyduğum için bunu ortaya koyacağımı düşündüm.

— Edward Chien
kaynak

Teşekkür!

— Sevilen

σ / 2

$\sigma / 2$

Sabit pi, sadece Öklid uzayındaki bir sabittir. Pi değeri diğer geometrilerde farklıdır. Pi parametresi Gaussian altındaki olasılık kütlesini değiştirir. Pi parametresi olasılıkları normalleştirmek için kullanılır. Bunu incelemeye yeni başladım.

Bir süre önce, sigma sayısı arttıkça uzayın hiperbolikten Öklid'e ve küresel hale geldiğine karar verdim. Her bir alandaki dairelerin ve pi parametresinin p parametresi aracılığıyla Lp uzaylarının bir fonksiyonu olarak karşılaştığım için mutlu oldum.

— David W Locke
kaynak