Zayıf yakınsama sayısal olarak nasıl hissediyor?

9

Sonsuz boyutlu Hilbert veya Banach alanında bir sorununuz olduğunu düşünün (bir PDE'yi veya böyle bir alanda bir optimizasyon problemini düşünün) ve zayıf bir şekilde çözüme dönüşen bir algoritmanız var. Sorunu ayrıklaştırır ve ilgili ayrıklaştırılmış algoritmayı soruna uygularsanız, zayıf yakınsama her koordinatta yakınsama olur ve dolayısıyla da güçlüdür. Sorum şu:

Bu tür bir güçlü yakınsama, orijinal sonsuz algoritmanın eski yalın güçlü yakınsamasından elde edilen yakınsaklıktan farklı ya da farklı görünüyor mu?

Veya daha somut:

"Ayrıklaştırılmış zayıf yakınsama yöntemi" ile ne tür kötü davranışlar olabilir?

Sadece zayıf yakınsama olduğunu kanıtlayabildiğimde kendim genellikle çok mutlu değilim, ancak şimdiye kadar problemin ayrıklaştırılmış problemlerini daha yüksek boyutlara ölçeklesem bile yöntemlerin sonucuyla ilgili bir sorun gözlemleyemedim.

"İlk optimizasyondan önce ayrıklaştır" vs. "ilk ayrıklaştırmadan önce en iyi duruma getir" sorunuyla ilgilenmiyorum ve tüm özellikleri sorunla paylaşmayan bir ayrık soruna algoritma uygularsanız oluşabilecek sorunların farkındayım algoritma için tasarlandı.

Güncelleme: Somut bir örnek olarak, $L^2$ ve (ataletsel) ileri-geri bölünme veya sadece zayıf yakınsamanın olduğu başka bir yöntemle çözülmesi $L^2$ bilinen. Ayrıklaştırılmış sorun için aynı yöntemi kullanabilirsiniz ve doğru ayrıklaştırma ile algoritmayı doğrudan ayrıştırdıysanız aynı algoritmayı elde edersiniz. Ayrıklaştırma doğruluğunu artırdığınızda ne ters gidebilir?

algorithms convergence

— kısa kılıç
kaynak

Sonsuz boyutlu problem ayrıklaştırılmadan önce yakınsamanın nerede analiz edildiğini nasıl bir yöntem düşünüyorsunuz? Optimizasyondan bahsediyorsunuz, bu yüzden çoğunlukla PDE kısıtlı optimizasyon problemlerini mi düşünüyorsunuz, yoksa başka bir şey var mı?

— Bill Barth

PDE optimizasyonunun yanı sıra geometrik varyasyon problemleri (örn. Minimum yüzeyler) ve görüntüleme problemleri (örn. TV denoising, Mumford-Shah segmentasyonu) göz önünde bulundurulur.

— Dirk

3

Süreklilik sınırında zayıf yakınsamanın çok önemli olduğu doğrudur. $h\to 0$ (örneğin, herhangi bir yakınsama oranını gözlemleyemeyerek ). En azından Hilbert alanlarında, aynı zamanda sınırın benzersiz olmamasına ve dolayısıyla sadece ardışık yakınsamaya (örneğin, farklı sınır noktalarına yaklaşma, tekrar oranları yok etme arasında geçiş yapabileceğiniz) bağlıdır ve bunun etkisini ayırmak zordur. iki yakınsama üzerinde.

Özellikle zayıf yakınsama için $L^2$ , aynı zamanda yakınsamanın noktasal olması gerekmediği gerçeğine de sahipsiniz ve bu gerçekten (yeterince iyi) bir takdir yetkisinde gözlemleyebilirsiniz. İşte bir dizi küçültücüden bir örnek $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ yakınsama $\varepsilon\to 0$ için

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$ yakınsamanın zayıf olduğu, ancak

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$ (ancak neredeyse her yerde noktaya doğru). Aşağıdaki şekiller dizideki üç temsili öğeyi göstermektedir (

ε

$\varepsilon$ zaten oldukça küçük).

zayıf yakınsama 1 zayıf yakınsama 2 zayıf yakınsama 3

Bu fenomen diferansiyel denklemler için bang-bang kontrol problemlerinin yakınlaştırılmasında "titreme" olarak bilinir (yani, çözeltinin hemen hemen her yerde alt veya üst sınırlara ulaştığı kutu kısıtlamaları ile ilgili problemler).

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

Mükemmel örnek! Bununla birlikte, zayıf yakınsamanın benzersiz olmamaya ne kadar bağlı olduğu noktasını anlamadım. Genel olarak, sınır benzersiz olduğunda zayıf yakınsamayı güçlü yakınsamaya yükseltemez, değil mi? Ancak katılıyorum, çoğu zaman hem zayıf bir yakınsama hem de benzersiz olmayan bir yapıya sahiptir.

— Dirk

Maalesef, bu yanlış bir şekilde ifade edildi; Her zaman böyle olduğunu söylemedim. Ben genellikle normun yakınsama olsun, akılda sorunlar vardı, bu yüzden tam dizinin yakınsaması olduğu sürece, güçlü yakınsama "yükseltebilirsiniz" (yani, güçlü yakınsama önleyebilir tek şey sonraki yakınsama olduğunu ).

— Christian Clason

2

Sorduğunuz soru çoğu zaman çok pratik bir endişe kaynağı değildir çünkü bir normdaki zayıf yakınsama, aynı çözüm dizisi için başka bir normda güçlü yakınsama anlamına gelebilir.

Size bir örnek vermek gerekirse, Laplace denklemini standart sonlu elemanlara sahip dışbükey çokgen bir alan üzerinde yeterince düzgün bir sağ tarafla çözdüğümüzü varsayalım. Sonra çözüm $u$ içinde $H^2$ , ama elbette sonlu elemanlar çözümü $u_h$ sadece içinde $H^1$ . Bunu biliyoruz $u_h \rightarrow u$ her ikisinde de $L_2$ ve $H^1$ maksimum örgü boyutu olarak normlar $h\rightarrow 0$ çünkü a priori hata tahminlerimiz var $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ ve . $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

Ama açıkça biz bekleyemeyiz kuvvetle çünkü sadece içindedir . Ama zayıfça (aslında, bence bu tutar). Bu muhtemelen $u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2} (u - u_{h}), \nabla^{2} v ⟩ \leq o (1) \forall v \in H^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Mesele şu ki, zayıf ve güçlü yakınsama sorunu, tipik olarak hangi normlara baktığınız sorusudur ve yönteminizden aldığınız çözüm dizisinin bir özelliği değildir .

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Bu doğrudur, ancak bir noktada norm pratik olarak yararlı olamayacak kadar zayıf hale gelir (örneğin, , zayıf Sobolev normlarında, yerelleştirilemeyen güçlü yakınsama anlamına gelebilecek zayıf yakınsamaya sahip olduğunuzda ).

L^{2}

$L^2$

— Christian Clason

@ChristianClason, böyle bir yöntem takdir edilmediğinde bunun nasıl olduğunu söyleyebilir misiniz? Onlar çalışıyorlar mı? Vb?

— Bill Barth

Aklımda olan durum, takdirsiz normun aslında sadece zayıf yakınsamanın gerçekleştiği normlara yaklaştığı zamandır (genellikle ).

L^{2}

$L^2$

— Dirk