PDE ters probleminde noktaya karşı sürekli gözlemler

Doktora derecem için ters bir problem üzerinde çalışıyorum. Basitlik uğruna söyleyeceğim araştırma, belirlemektir içinde$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

bazı gözlemlerden ; bir sabittir ve bilinir. Bu tipik olarak ekstrüzyon için bir optimizasyon problemi olarak formüle edilirk 0$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

Burada bir Lagrange çarpanıdır. göre fonksiyonel türevi , bitişik denklem çözülerek hesaplanabilir.J $\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Soruna olağan nedenlerle bazı düzenleyici fonksiyonel eklenir).$R[\beta]$

Burada konuşulmayan varsayım gözlenen veri olmasıdır etki boyunca sürekli tanımlanır . Benim sorunumun yerine kullanmanın daha uygun olabileceğini düşünüyorum$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

burada ölçümleri alınmış ve hangi noktalardır standart sapmasıdır -inci ölçümü. Bu alanın ölçümleri genellikle sivilceli ve eksik parçalardır; kaçınılması halinde neden sürekli bir şüpheli sadakat alanı elde etmek için enterpolasyon?$x_n$$\sigma_n$$n$

Bu bana duraklama veriyor çünkü bitişik denklem

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

nerede Dirac delta fonksiyonudur. Bunu sonlu elemanlar kullanarak çözüyorum, bu yüzden prensipte bir şekil fonksiyonunu bir delta fonksiyonuna entegre etmek o noktada şekil fonksiyonunu değerlendirmek demektir. Yine de, düzenlilik sorunları muhtemelen elden çıkarılmamalıdır. En iyi tahminim, objektif işlevselliğin gerçek alanlar yerine tüm alanlara sonlu eleman yaklaşımı olarak tanımlanması ve sonradan ayrıştırılması gerektiğidir.$\delta$

Çalıştığım sorunla ilgili olarak veya genel olarak literatürdeki ters problemlerde sürekli veya noktasal ölçümler varsayımına dair bir karşılaştırma bulamıyorum. Genellikle nokta ölçümleri, örneğin burada , başlangıç ​​düzenlilik sorunlarından bahsetmeden kullanılır . Sürekli ve noktasal ölçümlerin varsayımlarını karşılaştıran yayınlanmış bir çalışma var mı? Maddi durumdaki delta işlevleri hakkında endişelenmeli miyim?

Bu alanın ölçümleri genellikle sivilceli ve eksik parçalardır; kaçınılması halinde neden sürekli bir şüpheli sadakat alanı elde etmek için enterpolasyon?

Mükemmel haklısınız - çoğu zaman, tüm alanı kapsayan sürekli bir alana enterpolasyon bir seçenek değildir. Ölçümlerin (nokta kaynakları) yalnızca seçilen etki alanı konumlarında kullanılabildiği hava durumu tahmin sorunlarını düşünün. "Gerçek hayat" ters problemleri düşündüğünüzde noktasal verilerin istisnadan çok bir norm olduğunu söyleyebilirim.

En iyi tahminim, objektif işlevselliğin gerçek alanlar yerine tüm alanlara sonlu eleman yaklaşımı ( ayrıklaştır-sonra-optimize et ) olarak tanımlanması ve sonra ( optimize-sonra-ayrıklaştır ) sonra ayrıştırılması gerektiğidir .

İki yaklaşım eşdeğer değildir (çok basit problemler hariç). İki yaklaşımı (her birinin avantajları ve dezavantajları ile) karşılaştıran geniş bir literatür vardır. Sizi Max Gunzburger'in monografisine (özellikle 2. bölümün sonuna) yönlendirirdim.

Sürekli ve noktasal ölçümlerin varsayımlarını karşılaştıran yayınlanmış bir çalışma var mı? Maddi durumdaki delta işlevleri hakkında endişelenmeli miyim?

Kaynak terimlerinizi tam olarak temsil edebilirsiniz - yani, kaynak teriminiz (ayrı bir a) Dirac dağılımı [ Arraya et al., 2006 ] olarak modellenecek veya bazı düzenli fonksiyonlarla (yapıldığı gibi) kaynak terimine yaklaşabilirsiniz. , örneğin daldırılmış sınır yönteminde ). En (yeni başlayanlar için) göz bu son yazıda Hüseyni ve arkadaşları tarafından. (ve referansları).

@ GoHokies'in cevabını genişletmek için: Düzenlilik sorularıyla ilgileniyorsanız, "nokta ölçümleri" nin gerçekte ne olduğunu da sorabilirsiniz. Fiziksel pratikte, hiçbir şeyi bir "noktada" ölçemezsiniz. Aksine, her zaman bir uzay-zaman yığınına göre bir tür ortalama elde edersiniz: bir termometre bir nokta değil, genişletilmiş bir nesnedir ve etrafındaki ortamın sıcaklığına ayarlanması zaman alır; bir konsantrasyon ölçüm cihazının sınırlı bir numune boyutuna ihtiyacı vardır; vb.

Bunun matematiksel olarak anlamı, işlevinizdeki delta işlevlerinin gerçekten yeterince küçük alanların ve / veya zaman aralıklarının ortalaması olmasıdır. Sonuç olarak, ikili denklemin sağ tarafları da sonludur ve herhangi bir düzenlilik sorunu ortaya çıkmaz.

Tabii ki, pratikte, sonlu bir eleman ağı ile ölçtüğünüz küçük alanı veya zaman aralıklarını çözemezsiniz. Olduğuna göre, çözebilir uzunluk ölçeklerinde, sağ taraf yapar görünüm tekil ve sonuç böylece çözüm yapar. Ancak, zaten bir ayrıklaştırma hatası eklediğiniz için, aynı ağırlıkta ayrı bir yaklaşımla ölçtüğünüz birimin karakteristik işlevini de düzenleyebilirsiniz; Eğer doğru yaparsanız, (ayrık) çift denklemi için mükemmel derecede güzel bir sağ taraf fonksiyonu almanın yararına, ayrıklaştırma hatasından daha büyük olmayan bir hata ortaya koyacaksınız.