Örtülü Yüzeyleri Yönlendirilmiş Nokta Kümelerine Uydurma

13

Bir dizi noktaya kuadrik uyum ve ilgili normaller (veya eşdeğer olarak teğetler) ile ilgili bir sorum var. Kuadrik yüzeylerin nokta verilere takılması iyi araştırılmıştır. Bazı eserler aşağıdaki gibidir:

Kuadrik Yüzeylerin Tip Kısıtlı Doğrudan Takılması , James Andrews, Carlo H. Sequin Bilgisayar Destekli Tasarım ve Uygulamalar, 10 (a), 2013, bbb-ccc
Kuadrik yüzeylerin verilere cebri uyumu ,Kuadrik cebri uyumu I. Al-Subaihi ve GA Watson , Dundee Üniversitesi

Yansıtıcı konturlara uydurma da bazı işler tarafından kapsanır, bunun gibi .

Tüm bu çalışmalardan, Taubin'in Quadric fitting yönteminin oldukça popüler olduğunu düşünüyorum:

G. Taubin, "Örtülü Denklemler ile Tanımlanan Düzlemsel Eğrilerin, Yüzeylerin ve Düzlemsel Olmayan Uzay Eğrilerinin Tahmini, Kenar ve Aralık Görüntü Segmentasyonuna Uygulamalar ", IEEE Trans. PAMI, Cilt. 13, 1991, ss1115-1138.

Kısaca özetleyeyim. Bir Quadric $Q$ cebirsel biçimde yazılabilir:

f (c, x) = bir x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G, x + 2'H y + 2 ben z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ burada

c

$\mathbf{c}$ katsayı vektörü ve

x

$\mathbf{x}$ 3B koordinatlardır. Herhangi bir nokta

x

$\mathbf{x}$ kuadratik üzerinde yer alır

Q

$Q$ ise

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$ , burada:

S = [\begin{matrix} bir & D & E & G, \\ D & B & F & 'H \\ E & F & C & ben \\ G, & 'H & ben & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

Cebirsel Uyum Prensip olarak, noktalar ve kuadratik yüzey arasındaki kare geometrik mesafelerin toplamını en aza indiren parametreleri çözmek istiyoruz. Ne yazık ki, bunun bilinen bir analitik çözümü olmayan dışbükey olmayan bir optimizasyon problemi olduğu ortaya çıkıyor. Bunun yerine, standart bir yaklaşım bir cebirsel uyumu çözmektir, yani en aza indiren $\mathbf{c}$ parametreleri için çözmektir :

Σ_{ben = 1}^{n} f (c, x^{ben})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$

M = Σ_{ben = 1}^{n} l (x^{ben}) l (x^{ben})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ ile

burada

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ nokta bulutundaki noktalar ve

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

Böyle bir doğrudan minimizasyonun başlangıçta $\mathbf{c}$ ile önemsiz bir çözüm sağlayacağına dikkat edin . Bu soru literatürde yoğun olarak incelenmiştir. Uygulamada iyi çalıştığı belirlenen bir çözüm, kısıtlamayı getiren Taubin yöntemidir (yukarıda belirtilmiştir):

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

Bu şu şekilde çözülebilir: Let:

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$ burada abonelikler türevleri belirtir. Çözelti, genelleştirilmiş Eigen ayrışması,

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$ . En uygun parametre vektörü, en küçük Özdeğer'e karşılık gelen Özvektör'e eşittir.

Ana Soru Birçok uygulamada, nokta bulutunun normalleri mevcuttur (veya hesaplanır). Kuadrik $\mathbf{N}(x)$ normalleri, örtük yüzeyin farklılaştırılması ve normalleştirilmesiyle de hesaplanabilir:

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$ burada

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} bir x + D y + F z + G, \\ B y + D x + E z +'H \\ C z + E y + F x + ben \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

Bununla birlikte, Taubin yöntemi teğet alanı değil, sadece nokta geometrisini kullanır. Ve kuadrislerin teğetlerinin de altta yatan nokta bulutunun teğetleriyle eşleşeceği şekilde kuadrileri yerleştirmek için uygun olan birçok yöntemin farkında değilim. Yukarıdaki yöntemin potansiyel uzantılarını veya bu birinci dereceden türevleri kapsayacak başka herhangi bir uzantı arıyorum.

Ulaşmak istediğim şey belki daha ilkel yüzey (eğri) tipleriyle kısmen düşük boyutlu mekanlarda ele alınabilir. Örneğin, degrade bilgilerini dikkate alarak çizgileri görüntü kenarlarına sığdırma burada ele alınmıştır . Düzlemlerin (basit bir kuadrik tip) 3D bulutlara takılması çok yaygındır ( bağlantı 1 ) veya montaj küreleri veya silindirleri yönlendirilmiş nokta setlerine ( bağlantı 2 ) . Merak ettiğim şey benzer bir şey, ama uygun ilkel bir kuadrik.

Ayrıca aşağıdaki gibi önerilen yöntemin analizini memnuniyetle karşılarım:

Gereken minimum yönlendirilmiş nokta sayısı nedir?
Dejenere olgular nelerdir?
Sağlamlık hakkında bir şey söylenebilir mi?

Güncelleme : Takip etmek için bir yön sunmak istiyorum. Resmi olarak, elde etmek istediğim şey:

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$

x

$\mathbf{x}$ noktasında

. Belki de ek bir kısıtlama bulmak ve Lagrange çarpanlarını kullanarak en aza indirmek için Taubin yöntemiyle kaynaştırmak mümkün olabilir?

— Tolga Birdal
kaynak

Q'nun öğelerinin çoğu Q'da yanlış konumlandırılmış değil mi?

— Museful

Haklısın ve şimdi bunu düzelttim.

— Tolga Birdal

5

Yukarıdaki soruya tatmin edici bir cevap alamadığım için şaşırdım ve araştırmalarım bana bunun gerçekten keşfedilmemiş bir alan olduğunu gösterdi. Bu nedenle, bu soruna çözüm geliştirmek için biraz çaba harcadım ve aşağıdaki makaleleri yayınladım:

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic ve P. Sturm. "Nokta Bulutlarında Quadriklerin Tip-Agnostik Tespiti için Minimalist Bir Yaklaşım." IEEE Bilgisayar Görme ve Örüntü Tanıma Konferansı Bildirileri. 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic ve P. Sturm, IEEE Desen Analizi ve Makine İstihbaratı İşlemlerinde "Yeni Minimal Dörtlü Uyumu Kullanan Nokta Bulutlarında Genel İlkel Algılama". https://arxiv.org/abs/1901.01255

Burada ana fikre kısaca değineceğim:

$\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla S (x_{ben})}{‖ \nabla S (x_{ben}) ‖} - n_{ben} = 0 veya \frac{\nabla S (x_{ben})}{‖ \nabla S (x_{ben}) ‖} \cdot n_{ben} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla S (x_{ben}) = \nabla v_{ben}^{T} q = α_{ben} n_{ben} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} bir \\ B \\ ⋮ \\ ben \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

$\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} bir \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G, \\ 'H \\ ben \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ ... \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

$\mathbf{A}$

— Tolga Birdal
kaynak

Bu harika! Nokta ve normallerin nispi katkılarını ağırlıklandırmak için A'yı nasıl değiştirebiliriz?

— Museful

n

$\mathbf{n}$

Teşekkürler. Devrik sembol son denklemde q ve n'den çıkarılmamalı mı?

— Museful

Tekrar teşekkürler. Onları kaldırdım.

— Tolga Birdal

1

Normalin montaj prosedürüne dahil edildiği bir örnek biliyorum. Yine de doğrudan kuadrik bir bağlantı değildir. Noktalara ve normallere yerel olarak parametrelenmiş bir yama takılmıştır. Normalleri kullanmak, montaj probleminde daha fazla denklem verir ve daha yüksek mertebeden polinomların kullanılmasına izin verir.

Ana yön vektörlerini tahmin etmek için yeni bir kübik düzen algoritması

— Abhilash Reddy M
kaynak

0

Ayrıca bu makaleye de bakınız

Örtülü Yüzeylerin Radyal Temel Fonksiyonlarla Hermite İnterpolasyonu

ve ist uzantısı

Hermite Radyal Temeli Fonksiyonlar Etkileri

— LHF
kaynak