Matris değerli devam eden kesirler için etkili bir algoritma var mı?

Varsayalım yinelemeli olarak tanımlanan bir matris denklemim

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

Daha sonra A [1] denklemi, sürekli yeniden hesaplamayı önleyen bazı yüksek verimli yöntemlerin bulunduğu sürekli bir fraksiyona benzer (Bazı örnekler için "Sayısal Tarifler" kısmına bakın).

Bununla birlikte, b [n] ve a [n] katsayılarının matris olmasına izin veren benzer yöntemler olup olmadığını merak ediyorum, tek kısıtlama b [n] A [n + 1] 'in kare matris olması ve böylece matrisin

1 - b[n]A[n+1]

aslında tersine çevrilebilir.

algorithms

— Lagerbaer
kaynak

Birkaç ay önce matematikte sorduğunuz soru bu, değil mi? Mı kare veya dikdörtgen?

A

$A$

— JM

Matematikteki yorumlarda birisinin, beta çevrimiçi olduğunda bunu sormamı önerdiğini hatırlıyorum :) Özel durumumda, A dikdörtgen. Özyinelemeli denklemler hiyerarşik bir denklem kümesine karşılık gelir ve nicelik sayısı ile artar . Benim durumumda, A [n] boyutu nx (n-1)

n

$n$

— Lagerbaer

Sadece merak ediyorum, bunu kullanmak istediğiniz uygulama nedir?

— Hjulle

Çok kısaca, belirli bir Hamiltonian için Dyson kimliğini kullanmak, Green'in belirli bir indeksi ile etiketleyebileceğim işlevlerini üretir . Aynı indekse sahip tüm fonksiyonları bir vektörüne , Dyson'ın kimliğini ve uygun bir yaklaşımı kullanarak . Tüm için olacak şekilde bir kesme kullanarak matrislerini izin verir, böylece ve bu matrisler sürekli kesir stili denklemim tarafından verilir. Bu teknik, örneğin, kafesin Green'in sıkı bağlanan modeller için işlevlerini hesaplayabilir.

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— Lagerbaer

Bu benim alanım değil, ama bir süre önce bu problemle ilgili bir şeyin sunulduğu bir seminerdeydim. [Burada] [1] çevrimiçi olarak bulabildiğim tek iz. Gerçekten yardımcı olup olmadığını bilmiyorum. [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

Yanıtlar:

Aşağıdaki iki yöntem Matrislerin Fonksiyonlarında verilmiştir : Nicholas Higham tarafından Teori ve Hesaplama , sayfa 81. Bu formüller değerlendirir

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$ burada bir kare matristir.

X

$X$

Yukarıdan aşağıya yöntemi:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

j = 1: 2m için

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

son

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

Aşağıdan yukarıya yöntemi:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

j = 2m − 1: −1: 1 için

Çözün için . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

son

$r_m=b_0I+Y_1$

Soru daha genel formun değerlendirilmesini istiyor

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

Bu, yukarıdaki formüllerin basit bir genellemesi ile değerlendirilebilir; örneğin aşağıdan yukarıya yöntemi

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

j = 2m − 1: −1: 1 için

Çöz için . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

son

$r_m=b_0I+Y_1$ .

— David Ketcheson
kaynak

Bu çok ilginç görünüyor. Özel

— sorunuma

Ah, ama sadece matrisinin çözümünüzün her yerinde aynı olduğunu fark ettim , ama benimki mutlaka değil.

X

$X$

— Lagerbaer

Tamam, genelleştirdim.

— David Ketcheson

Bu cevabın birçok varsayım yaptığını biliyorum, ancak en azından algoritmanızı genelleştiriyor:

$\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

Ayrıştırma dediğimizde, tümevarım yoluyla,

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

forma yeniden düzenlenebilen

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— Jack Poulson
kaynak