Üçgen örgünün düzensizliğini ölçmek için yaygın olarak kullanılan metrikler

Düz bir düzlemde üçgen bir ağınız olduğunu varsayalım. Bu, nihayetinde mekanikteki bazı problemleri çözmek için çizilmiştir.

Eşkenar üçgenler ağı, köşeler ve sentroidler arasındaki mesafeler her yerde aynı olduğu için en iyisidir. Bu enterpolasyonları ve degradelerin hesaplanmasını kolay ve doğru bir görev haline getirir. Bununla birlikte, kısıtlamalar ve koşullar nedeniyle, tüm eşkenar üçgenlerden oluşan bir kafes üzerinde çalışmak her zaman mümkün değildir.

Yani, sorular keyfi şeklin üçgen elemanlarından oluşan bir ağ ile ilgilidir.

İlgili tek tek ağ elemanları . Bir jenerik üçgenin altında yatan ideal eşkenar şekilden farklılığını ölçmek için yaygın olarak hangi metrikler kullanılır?

İlgili tüm ağı . Bir bütün olarak keyfi üçgen örgüsünün düzensizliğini ölçmek için hangi metrikler kullanılıyor? Bu metrikler ağın ne kadar karmaşık olduğunu göstermelidir.

Birlikte düşündüğün için teşekkürler.

Not Sonlu elemanlar topluluğundan gelen tüm katkılar büyük beğeni topluyor. Bu soru için, ilginin yalnızca geometride (keyfi ve eşkenar üçgenlere göre) farklılıkları ölçmek olduğunu lütfen unutmayın. İnterpolasyon ve koşullandırma hataları üzerindeki sonraki etki kapsam dışındadır. Bunların anlayışlı ve alakalı olabileceği düşünülürse, matematiksel işlemeyi zorlaştırır.

@Nicoguaro ve @Paul'un soru yazısına yaptığı açıklamalarda söylediği gibi, bu tür bir şey yapmanın birçok yolu var ve tek bir "en iyi" yaklaşım olup olmadığından emin değilim.

Berkley'deki Jonathan Richard Shewchuck'un gözden geçirme çalışmasından bir cevap:

Semboloji, terminoloji, özel özellikler ve muhtemelen daha fazlası (örn. Tetrahedra) için lütfen orijinal belgeye (sürüm 31/12/2002) bakın. Bölüm 6 kalite önlemleri ile ilgilidir. Bağlantı verilen belge genişletilmiş sürümdür ve JRS'nin web sayfasında kısaltılmış bir belge bulunmaktadır.

Şahsen ben, "hacim uzunluğu" metriğinin hayranıyım. (İzotropik) simpleks kalitesinin iyi bir sağlam skaler göstergesidir ve hesaplanması ucuzdur. İki boyutta:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

burada üçgenin imzalı alanıdır veKök-ortalama-kare kenar uzunluğudur. İdeal elementler , artan bozulma ile sıfıra doğru azalan elde . Ters çevrilmiş ters çevrilmiş elemanlar değerine sahiptir .$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Yapılandırılmamış bir üçgenleme kalitesini değerlendirmek için, bu tür eleman kalitesi metriklerinin histogramlarına bakmak tipiktir. Orada bu tür şeylerin birçok uygulaması var, ama benim tek bir düz MATLABkod benim temel burada .

Hacim uzunluğu skorlarına ek olarak, varsayılan olarak eleman açıları ve tepe noktası histogramları da hesaplanır.

Genel olarak bu soruya bir cevap olduğunu düşünmüyorum , çünkü hepsi örgü için amaçlanan kullanıma bağlı. Örneğin, hesaplamalı akışkanlar dinamiği yapıyorsanız, sınır tabakasının yakınında son derece anizotropik bir ağa sahip olmak isteyebilirsiniz. Şimdi, hesaplama elektromanyetiği yapıyorsanız, en iyi ağ muhtemelen tamamen farklı olacaktır.

Literatürde "mesh kalitesi" kriteri için birçok farklı tanım vardır. Çoğu mümkün olduğunca eşkenar üçgen olan ağları tercih edecektir. En küçük açıyı en üst düzeye çıkarma fikrinden de bahsedilebilir (bu, Delaunay üçgenleme ile sabit bir nokta kümesi için gerçekleştirilir). Jonathan Shewchuk'un yorumlardan birinde bahsedilen analizi ile haklı çıkarılmıştır, bu açıyı P1 elemanları ile ayrıştırılmış Laplace denklemi için sertlik matrisinin durum numarası ile ilişkilendirir, ancak yine de amaçlanan kullanıma bağlı olarak, birinin iyi ağı biri olabilir başka zayıf örgü.

"Farklılıkları sadece geometride (keyfi veya eşkenar üçgenlere) ölçmenin" mantıklı olduğunu düşünmüyorum: üçgenlerin eşit olup olmadığını ölçmeden ve hangi "eşitlik wrt eşitliği" nin en iyi olduğuna karar vermeden önce, "eşkenar üçgenler" istediğimiz olup olmadığı ve her zaman böyle değil! Tüm bu söz "enterpolasyon ve koşullandırma" gelir. Evet, dediğin gibi "matematiksel işlemeyi zorlaştırıyor" ama onsuz, belirli bir uygulama için objektif kriterler ile hiç mantıklı olmayan kriterler arasında fark yaratmak mümkün değil.