Vektörler arasındaki açıları hesaplamanın sayısal olarak kararlı yolu

İki vektör arasındaki açı için klasik formülü uygularken:

α = \arccos \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{‖ v_{1} ‖ ‖ v_{2} ‖}

$\alpha = \arccos \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\|\mathbf{v_1}\| \|\mathbf{v_2}\|}$

çok küçük / akut açılar için hassasiyet kaybı olduğu ve sonucun doğru olmadığı bulunmuştur. Bu Yığın Taşması cevabında açıklandığı gibi , çözümlerden biri arktanjant kullanmaktır:

α = \arctan 2 (‖ v_{1} \times v_{2} ‖, v_{1} \cdot v_{2})

$\alpha = \arctan2 \left(\|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\|, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \right)$

Ve bu gerçekten daha iyi sonuçlar veriyor. Ancak, bunun çok yakın açılar için kötü sonuçlar vereceğini merak ediyorum $\pi / 2$ . Durum böyle mi? Öyleyse, bir ifdalın içindeki toleransı kontrol etmeden açıları doğru bir şekilde hesaplamak için herhangi bir formül var mı?

algorithms precision numerical-limitations

— astrojuanlu
kaynak

Bu, iki parametreli ters tanjant fonksiyonunun uygulanmasına bağlı olacaktır. Yavaş, kararlı sürümler, hassasiyeti korumak için x / y ve y / x ile çalışmak arasında koşullu olarak geçiş yaparken, hızlı olanlar sadece doğru çeyreğe yapışır ve bu nedenle tek parametreli sürümden daha kesin değildir.

— origimbo

"Hassasiyet kaybı" tanımlamalısınız: doğru cevabın

α

$\alpha$ ve bunun yerine

olduğunu varsayalım

α + Δ

$\alpha + \Delta$ . Eğer gerek Do

Δ ≪ α

$\Delta \ll \alpha$ ya

Δ ≪ π

$\Delta \ll \pi$ yeterlidir?

— Stefano M

Bu durumda, doğru cevap ve aldım , her ikisi de .

α

$\alpha$

α \cdot 10^{8}

$\alpha \cdot 10^8$

≪ 1

$\ll 1$

— astrojuanlu

Yanıtlar:

( Bu yaklaşımı daha önce test ettim ve doğru çalıştığını hatırlıyorum, ancak bu soru için özel olarak test etmedim. )

Anlayabildiğim kadarıyla, hem ve , neredeyse paralel / dikey olmaları durumunda felaket iptaline maruz kalabilirler - atan2, her iki giriş de kapalı olursa size iyi bir doğruluk sağlayamaz. $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$ $\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$

Sorunu, kenar uzunluklarına sahip bir üçgenin açısını bularak yeniden biçimlendirerek başlayın. ,ve(bunların hepsi kayan nokta aritmetiğinde doğru olarak hesaplanır). Yan uzunluklarıyla belirtilen bir üçgenin alanını ve açısını ( ve arasında ) hesaplamanızı sağlayan Kahan ( Yanlış Hesaplanan Alan ve İğne Benzeri Üçgenin Açıları) nedeniyle Heron formülünün iyi bilinen bir çeşidi vardır , ve bunu sayısal olarak kararlı bir şekilde yapın. Bu alt problemin azaltılması da doğru olduğundan, bu yaklaşım keyfi girdiler için işe yaramalıdır. $a=|\mathbf{v}_1|$ $b=|\mathbf{v}_2|$ $c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$ $a$ $b$

Varsayarak (s.3 bakınız) kağıttan teklif , Buradaki tüm parantezler dikkatlice yerleştirilmiştir ve önemlidir; Kendinizi negatif bir sayının kare kökünü alırsanız, giriş tarafı uzunlukları bir üçgenin yan uzunlukları değildir. $a\geq b$

μ = {\begin{cases} c - (a - b), & if b \geq c \geq 0, \\ b - (a - c), & if c > b \geq 0, \\ invalid triangle, & otherwise \end{cases}

$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$

a n g l e = 2 \arctan (\sqrt{\frac{((a - b) + c) μ}{(a + (b + c)) ((a - c) + b)}})

$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$

Kahan'ın makalesinde, diğer formüllerin başarısız olduğu değerlerin örnekleri de dahil olmak üzere, bunun nasıl çalıştığına dair bir açıklama var. Sizin ilk formülü olduğu sayfa 4. $\alpha$ $C''$

Kahan'ın Heron'un formülünü önermemin ana nedeni, çok güzel bir ilkel yapmasıdır - potansiyel olarak zor düzlemsel geometri sorularının çoğu, rastgele bir üçgenin alanını / açısını bulmak için azaltılabilir, bu nedenle sorununuzu buna indirgeyebilirseniz, bunun için güzel ve kararlı bir formül ve kendi başınıza bir şey bulmanıza gerek yok.

Düzenle Stefano'nun yorumunu takiben , ( kod ) için göreceli hata grafiği . İki çizgi ve , için yatay eksen boyunca ilerleyen göreceli hatalardır . Görünüşe göre çalışıyor. $v_1=(1,0)$ $v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$ $\theta=\epsilon$ $\theta=\pi/2-\epsilon$ $\epsilon$

— Kirill
kaynak

Bağlantı ve cevap için teşekkürler! Maalesef yazdığım ikinci formül makalede görünmüyor. Öte yandan, bu yöntem 2D olarak projeksiyon gerektirdiğinden biraz karmaşık olabilir.

— astrojuanlu

@astrojuanlu Burada 2d'ye bir çıkıntı yok: iki 3B vektör ne olursa olsun, aralarında tek (düzlemsel) bir üçgen tanımlarlar - sadece yan uzunluklarını bilmeniz gerekir.

— Kirill

Haklısın, yorumum bir anlam ifade etmiyor. Uzunluklar yerine koordinatlarda düşünüyordum. Tekrar teşekkürler!

— astrojuanlu

@astrojuanlu Not etmek istediğim bir şey daha var: Görünüşe göre alan formülünün bir Üçgenin Alanını Hesaplama: Resmi bir Revisit , Sylvie Boldo , Flocq kullanarak doğru olduğuna dair resmi bir kanıt var .

— Kirill

Mükemmel cevap, ama kayan nokta aritmetiğinde her zaman doğru bir şekilde hesaplayabileceğinize itiraz ediyorum . Aslında ise, bileşenlerinin hesaplanmasında yıkıcı iptaller gerçekleşir .

c

$c$

c < ϵ \cdot min (a, b)

$c < \epsilon \cdot \min(a,b)$

(v_{1} - v_{2})

$(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)$

— Stefano M

Bu sorunun etkili cevabı, şaşırtıcı bir şekilde, Velvel Kahan'ın başka bir notunda :

α = 2 \arctan (‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} + \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖, ‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} - \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖)

$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$

burada yatay eksenle tarafından yapılan açı olarak . (Bazı dillerde argümanların sırasını çevirmeniz gerekebilir.) $\arctan(x,y)$ $(x,y)$

( Burada Kahan formülünün bir Mathematica gösterimini yaptım .)

— JM
kaynak

mi demek ?

\arctan 2

$\arctan2$

— astrojuanlu

Ben sadece iki argümanlı arktanjenti olarak resmediyorum , evet. FORTRAN gibi bir dilde, eşdeğer olur .

\arctan (x, y)

$\arctan(x,y)$ ATAN2(Y, X)

— JM